小学奥数容斥问题教案

1. 小学奥数容斥原理

解答如下：
A+B+C-AB-BC-AC+ABC = 0， 解释，最好人获奖的情况下应该是，所有人都得了两个奖，那么上式可以得到AB+BC+AC = 9+10+11 = 30;既一共发了30份奖品
此时每个人都得了两个奖，因此一共只有 30/2 = 15人获奖

2. 求解奥数容斥问题！

画个文氏图，只设一个未知数x，即可。

如图，黑的表示三个全洗，红绿青表示只洗两样，外侧的，上，裤，裙表示只洗一种。

设黑色部分x，那么总人数是3x

根据题意，上=红=9，绿=15

因为 三样全洗、只洗一样、只洗两样的人数相同

所以 x=黑=红+绿+青=上+裤+裙

所以 青=x-9-15=x-24

根据洗裙子的48，所以只洗裙子的，

裙=48-(红+绿+青)=63-2x

因为，只洗裤子的和不洗裤子的人数相同，

所以 裤=上+青+裙=9+x-24+63-2x=48-x

最后，根据 上+裤+裙=x

9+(48-x)+(63-2x)=x

解得x=30

所以总人数3x=90

注：做的时候，设中心的黑色部分为x，然后根据条件，由内往外在空当处填数字，

最后根据 最外层的和=中心x

得出x即可。

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3. 小学奥数题 容斥问题

因为只要A/1001是最简真分数，那么（1001-A）/1001也是最简真分数，两个分数相加就是1，如果有720个最简真分数，那么它们的和就是个数的一半360。

4. 小学奥数容斥问题

设六年级有X件,五年级有Y件,总共Z件
所以有32+X=Z
24+Y=Z
X+Y=30
联立方程得X=11,Y=19

5. 六年级奥数问题 容斥问题

喜欢篮球和排球的有8人，喜欢足球的是喜欢三项人数的10倍，所以喜欢足球的必须不超过5人，因为总人数是53人，则喜欢足球的有50、40、30、20、10人的可能性，题目中未提及每个人至少有一项爱好，否则此题无法做。那只喜欢足球的应该是12人，所以三项的人数应为5，4，3或2.假定为5，则足球总人数为50，喜欢足球并喜欢篮球的应为15人，喜欢足球并喜欢排球的为20人，12+15+20-5（喜欢三项的重复计算）=42与50不等，再假定为4，仍不符，假定3，合适。所以三项的为3人。

6. 四年级奥数容斥问题

答案：（1）9，（2）29,（3）31。
解答:先将已知和未知的画个表(不及格人数从总人数中减去及格人数)：
科目 不及格人数 仅此科不及格人数
数学 21 m
化学 18 p
英语 19 e
数英 14 a
数化 13 b
英化 11 c
三科 x
两科以上 20 a+b+c+x
上面的字母均是未知数，于是，问题(1)即求x的值是多少，问题(2)即求m+p+e+a+b+c+x的值，
问题(3)即求60-(m+p+e+a+b+c+x)的值。下面分别来求解。
(1)根据上面的列表有方程组
a+x=14(数英不及格人数)
b+x=13(数化不及格人数)
c+x=11(英化不及格人数)
a+b+c+x=20(两科以上不及格人数)
前三式相加减去第四式得2x=18,从而x=9，即有9人三科都不及格。
(2)仿照上面接着列
m+a+b+x=21(数学不及格人数)
p+b+c+x=18(化学不及格人数)
e+a+c+x=19(英语不及格人数)
把这三个加起来得
m+p+e+a+b+c+x+(a+b+c+x)+x=58
将a+b+c+x=20及x=9代入上式得到m+p+e+a+b+c+x=29
即有29人至少有一科不及格。
(3)三科都及格人数等于全班人数减去至少有一科不及格人数即
60-29=31(人)。

7. 小学奥数容斥原理难吗

小学奥数容斥原理难吗？
不太难。
例如，
一次考试，某班级有10人数学得了满分，有8人语文得了满分，并且有3人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？
10+8-3 = 15 人

8. 小学奥数 包含于排斥（容斥原理）

三种都不懂的去掉，会说至少一种语言的有100-10=90人。
设只会法语的有x，只会英语的有y，只会日语的有z，只会法日的有a，只会法英的有b，只会英日的有c，三种都会的有50.
则有75=50+x+a+b,83=y+b+c+50,65=50+a+c+z,x+y+z+a+b+c=90-50=40
把前面三个等式直接相加得x+y+z+2(a+b+c)=73
再把最后一个等式直接代入，得(a+b+c)=33.
很显然，懂得2种以上的人就是这个（a+b+c）=33人。

9. 小学奥数--难题--容斥问题

46-6-8-11-19=2人