⑴ 北师大版九年级数学《最大面积是多少》教学设计
一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：由简单的二次函数y＝x2开始，然后是y＝ax2，y＝ax2+c，最后是y=a(x-h)2，y＝a(x-h)2+k，y＝ax2+bx+c，学生已经掌握了二次函数的三种表示方式和图像的性质。
学生的活动经验基础：通过利用二次函数解决最大利润的学习，学生已经经历了由实际问题转化为数学问题的过程，对解决这类问题有了处理经验。
二、教学任务分析
本节课将进一步利用二次函数解决实际问题，是上一节内容的升华和提高，具体的教学目标如下：
(一)知识与技能
能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值。
(二)过程与方法
1. 通过分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，培养学生的分析判断能力。
2．通过运用二次函数的知识解决实际问题，培养学生的数学应用能力。
(三)情感态度与价值观
1．经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学知识的应用价值。
2．能够对解决问题的基本策略进行反思，形成个人解决问题的风格。
3．进一步体会数学 与人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心，具有一定的创新精神和实践能力。
教学重点
1．经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学知识的应用价值。
2．能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题。
教学难点
由图中找到二次函数的表达式。
三、教学过程分析
本节课分为五个环节，分别是：创设问题情境引入新课、归纳升华、课堂练习活动探究、课时小结、课后作业
第一环节 创设问题情境，引入新课
设计说明：通过对上节课内容的回顾和分析再次引领学生进入用二次函数解决问题的世界，激发学生继续探索的欲望，引入新的课程内容。
上节课我们利用二次函数解决了最大利润问题，知道了求最大利润就是求二次函数的最大值，实际上就是利用二次函数来解决实际问题。解决这类问题的关键是要读懂题意，明确要解决的是什么，分析问题中各个量之间的关系，把问题从数学的角度表示出来，明确已知什么求什么，建立数学模型。在此基础上，利用我们所学过的 数学知识，就可以一步步得到问题的解。
本节课我们将继续利用二次函数解决最大面积的问题。
活动内容：由四个实际问题构成
1．问题一：如下图，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD，其中AB和AD分别在 两直角边上。
(1)设长方形的一边AB＝x m，那么AD边的长度如何表示？
(2)设长方形的面积为y m2，当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？
问题一的设计目的：
这个问题，学生在学习相似时见过同种类型，所以在课堂上要给学生留出一些思考和交流的时间，让学生充分发挥课堂的主体地位。在学生充分发挥自主探索的能力后，教师要与学生共同协作完成题目的解答。这样做的目的是为学生在后面的学习起示范作用，帮助学生在脑海中形成完整的解答过程。具体的过程如下：
分析：(1)要求A D边的长度，即求BC边的长度，而BC是△EBC中的一边，因此可以用三角形相似求出BC 。由△EBC∽△EAF，得即 ，所以AD＝BC＝ (40－x)。
(2)要求面积y的最大值，即求函数y＝AB·AD＝x· (40－x)的最大值，就转化为数学问题了。
下面由师生共同合作完成解答过程。
(1)∵BC∥AD，
∴△EBC∽△EAF．∴ ．
又AB＝x，BE＝40－x，
∴ ．∴BC＝ (40－x)．
∴AD＝BC＝ (40－x)＝30－ x．
(2)y＝AB·AD＝x(30－ x)＝－ x2＋30x
＝－ (x2－40x＋400－400)
＝－ (x2－40x＋400)＋300
＝－ (x－20)2＋300．
当x＝20时，y最大＝300．
即当x取 20m 时，y的值最大，最大值是 300m2 ．
【思考】解决这类问题你有什么心得？
（首先对题意进行分析，找到变量间的关系，发现求面积就是求矩形的两条边，其次把两条边都用含有x的代数式表示出来，最后带入面积公式将实际问题转化为数学问题，用数学的方式解决它。）
2．问题二：将问题一变式：“设AD边的长为x m，则问题会怎样呢？”
问题二的设计目的：
学生在是生活中遇到的问题是千变万化的，他们要有具体问题具体分析的能力，所以将问题进行一定变化后学生可以通过自己的分析独立解决这类问题。从而提高学生独立思考并解决问题的能力。
分析：要求面积需求AB的边长，而AB=CD，所以需要求DC的长度，而DC是△FDC中的一边，所以可以利用三角形相似来求。
解：∵DC∥AB，
∴△FDC∽△FAE．
∴ ．
∵AD＝x，FD＝30－x．
∴ ．
∴DC＝ (30－x)．
∴AB＝DC＝ (30－x)．
y＝AB·AD＝x· (30－x)
＝－ x2＋40x
＝－ (x2－3 0x＋225－225)
＝－ (x－15 )2＋300．
当x＝15时，y最大＝300．
即当AD的长为 15m 时，长方形的面积最大，最大面积是 300m2 ．
感知：同一实际问题中的最大值问题与所设的自变量无关，它是客观存在的。
教学说明：
课堂上要求学生独立完成这个问题的完整解答，请一、两名学生板演，再由其他学生进行点评，找出完美的解答过程。体现学生的自主探索、合作交流的意识与能力，也充分体现了生生评价的激励作用。
3．问题三：对问题一再变式
问题三的设计目的：
问题二的解答会使一部分学生完全按照问题一的格式套下来，此时他们还会有点不熟练，但问题三则从另一个角度重新诠释了面积最大的问题。即让学生对这个问题重新进行审视又让学生彻底弄清这类问题的思考方式。让学生在课堂上看到了活生生的数学问题，感受到数学与生活有着密切的联系，使学生真正领悟到数学的价值。
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中点A和点D分别在两直角边上,BC在斜边上.
(1).设矩形的一边BC=xm,那么AB边的长度如何表示？
(2).设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的最大值是多少?
【分析】：该题在前两个题的基础上有了在升华，两个变量不能直接从图形找到关系，而要借助于直角三角形斜边上的高才能找到两者的关系，所以该题要添加辅助线——斜边上的高。
活动目的：
有了前面两题作基础，这个问题教师可以带领学生先行分析后留给学生自己解决，作为练习。
4．问题四：
问题四的设计目的：
有关面积最大问题的基础训练前面已经涉及，这里设计了提高题来提升学生解决问题的能力。
某建筑物的窗户如下图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为 15m ．当x等于多少时，窗户通过的光线最多(结果精确到 0.01m )？此时，窗户的面积是多少？
分析：x为半圆的半径，2x是矩形的较长边，因此x与半圆面积和矩形面积都有关系，要求透过窗户的光线最多，也就是求矩形和半圆 的面积之和最大，即2xy＋ x2最大，而由于4y＋4x＋3x＋πx＝7x＋4y＋πx＝15，所以y＝ 。面积S＝ πx2＋2xy＝ πx2＋2x· ＝ πx2＋ ＝－3.5x2＋7.5x，这时已经转化为数学问题即二次函数了，只要化为顶点式或代入顶点坐标公式中即可．
解：∵7x＋4y＋πx＝15，
∴y＝ ．
设窗户的面积是S(m2)，则
S＝ πx2＋2xy
＝ πx2＋2x·
＝ πx2＋
＝－3.5x2＋7.5x
＝－3.5(x2－ x)
＝－3.5(x－ )2＋ ．
∴当x＝ ≈1.07时，
S最大＝ ≈4.02．
即当x≈ 1.07m 时，S最大≈ 4.02m2 ，此时，窗户通过的 光线最多．
实际教学效果：
问题四 中的数量关系，较前面3个问题，该题处理起来比较繁琐，教师要给予学生及时的指导和帮助。
第二环节 归纳升华
活动内容：
同学们能否根据前面的例子作一下总结，解决此类问题的基本思路是什么呢？与同伴进行交流．
活动目的：
通过前面例题的学习和感受，学生讨论交流，在教师的帮助下归纳出：
基本流程为：理解题目 分析已知量与未知量 转化为数学问题．
解决此类问题的基本思路是：
(1)理解问题；
(2)分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系；
(3)用二次函数表示出变量间的关系；
(4)确定最大值或最小值；
(5)检验结果的合理性并进行应用拓展。
第三环节 课堂练习，活动探究
活动内容：
用 48 米 长的竹篱笆围建一矩形养鸡场,养鸡场一面用砖砌成,另三面用竹篱笆围成,并且在与砖墙相对的一面开 2 米 宽的门(不用篱笆),问养鸡场的边长为多少米时,养鸡场占地面积最大?最大面积是多少?
【设计说明】：
通过一节课的的研究，让学生进一步感受二次函数解决面积最大的思路，为了让更多的学生体验到成功，利用这个比较简单的问题及时巩固，并有利于学生树立信心。
第四环节 课时小结
本节课我们进一步学习了用二次函数知识解决最大面积的问题，增强了应用数学知识的意识，获得了利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受了数学建模思想和数学知识的应用价值．
【说明】：旨在培养学生的建模思想和合作交流的意识。课堂中应请学生自主总结本节课的内容。教师予以鼓励、表扬和肯定即可。
第五环节 课后作业
习题2．8 1、2
四、评价与反思
本节课的目的主要使学生经历长方形和窗户最大透光问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验，进一步感受数学模型思想和数学的应用价值。
在教学中，要尽可能的给学生留有充分的时间去思考、反思，让他们将老师传授的知识转化为自己的理解，让学生用自己的认知完成问题的解答，教师只要给予适时的指导即可。课堂是学生的课堂，学生的创造力不可限量，课堂上要让让学生去发挥、去创造。
因为学生的数学语言表达能力还有些欠缺，逻辑思维能力的训练还需加强，所以课堂上要加强对问题解答过程的书写训练。