小学数学体积和容积

『壹』 关于小学数学科怎样利用信息化提升学生自主学习能力

从儿童思维特点来看，小学生的思维是以具体形象思维为主要形式，逐步向抽象逻辑思维过渡。如何在教学中培养小学生的数学的思维能力？这地需要我们在教学中充分发挥信息技术的优势，为小学生学习数学的道路上提供丰富多彩的教学环境和提高学习能力的工具。合理地利用信息技术进行教学，可以以生动、新颖、富有童趣的画面，直观动态的演示，强而有力的吸引着学生，为学生创造了一个活泼、生动的获取知识、信息的氛围，激活学生的思维品质，让学生的思维富有抽象性、灵活性、创造性。关键词：信息技术数学思维能力随着新课程改革的推进和信息技术的飞速发展，信息技术与教学的整合已成为必然的趋势。数学，是一门抽象性较强的学科。从儿童思维特点来看，小学生的思维是以具体形象思维为主要形式，逐步向抽象逻辑思维过渡。如何在教学中培养小学生的数学的思维能力？这地需要我们在教学中充分发挥信息技术的优势，为小学生学习数学的道路上提供丰富多彩的教学环境和提高学习能力的工具。合理地利用信息技术，以生动、新颖、富有童趣的画面，直观动态的演示，强而有力的吸引着学生，为学生创造了一个活泼、生动的获取知识、信息的氛围，激活学生的思维品质，让学生的思维富有抽象性、灵活性、创造性。一、巧用信息技术，激活学生的抽象性思维。对于小学生来说，数学中的“对称”、“平行”、“质数”、“比例”等术语以及“小数”、“体积”、“容积”等概念，是比较抽象难懂，不好理解的。教师可以把一些具体形象、概念、关系等，利用现代信息技术形象生动、色彩艳丽等特点创设情境，有效地激发学生的学习兴趣，使抽象、枯燥的数学概念变得直观、形象，使学生从课件中感受到数学学习的乐趣，让他们喜爱数学并乐于学数学。例1：小学五年级学生对于“容积”概念的认识理解透彻是个难点。容积和体积是两个有联系但又有区别的概念。教学中，我们可以借助信息技术，出事“容积体积”比较的组合图（如图1），以“体积”概念为生长点，让学生在观察中，获得感性知识，形成知识的表象，再进行比较。图1例2：教学中，有的学生会产生质疑小数的数值并不小，但为什么叫“小数”呢？在《小数的产生和意义》的课堂上，我们可以利用信息技术，制作将一条线段平均分成10份的动画，取其中的一份或几份时产生了一位小数（十分位）。而后利用多媒体动画把其中的一份平均分成10份（放大演示），从而产生了两位小数（百分位）??如此类推，学生通过动画演示，经历了小数形成的过程，并抽象出小数的概念，小数并不小，它只是计数单位不断地变小。例3：教学《长方体的体积计算》时，组织学生用12个棱长为1厘米的小正方体拼摆成各种不同的长方体，学生探究交流后，运用信息技术，有序演示学生不同的操作探究的结果，先用棱长是1厘米的正方体一个一个地摆成一行，再一行一行地摆成一层，最后一层一层地摆成各种不同形状的长方体。在这一过程中学生能清晰地看到，无论怎样拼，拼成的长方体所含体积单位的个数等于每行摆的个数(长所含的厘米数)、摆的行数(宽所含的厘米数)和摆的层数(高所含的厘米数)的乘积，进而抽象概括得出：长方体的体积=长×宽×高。信息技术的巧妙使用，可以突破时间与空间的限制，模拟仿真形象，为具体形象思维顺利向抽象思维过度，让学生经历知识的形成过程，为学生提供清晰有序的思维动态，激活学生的抽象性思维。二、信息技术辅助教学，提高学生的灵活性思维。教学中，通过有效的信息技术课件辅助教学，直观生动展示图形的变化，化静为动，动静结合，使静态的知识动态化，使学生掌握基础知识，提高其思维的灵活性。例1：在教学比较角的大小时，多媒体中的平移动画更能发挥作用：除了以上两种平移的动画，还可以演示同一个角两边缩短、延长的的动画，不但使学生生动地理解到角的大小与两边的长度没有关系，是由两边叉开的大小决定的，更让能学生感受到比较的多样性、灵活性。例2：《平行四边行面积的计算》，首先让学生用数方格的方法初步感知平行四边形与长方形的联系，然后提出平行四边行面积的面积是否也可以转化成长方形的面积来考虑？通过课件演示分割、拼接推导出平行四边形面积公式，引导学生有序地观察演变过程，让学生在观察平行四边形至长方形的转化过程中，思考：“平行四边形的底和高与长方形的长和宽有什么关系？”从而得出平行四边形的底等于长方形的长，平行四边形高等于长方形的宽，那么平行四边形的面积就等于长方形的面积。例3：《圆的面积》这一课时需要培养学生化曲为直的思维观念，把圆转化成长方形或平行四边形这一抽象的过程，对于大部分学生来说很难通过想象实现。然而，运用多媒体动画就可以形象地把圆进行等分—拼合，把这一抽象过程完整地呈现，使抽象的教学内容变得具体、丰富。通过信息技术演示，将原图形通过割补、分割、平移、拼接等途径进行变形，把位置的面积计算问题转化成已知图形的面积计算问题，使知识变难为易。三、通过信息技术整合，培养学生的创造性思维。创新是一个民族的灵魂，是国家兴旺发达的不竭动力。要培养学生的创新能力，首先要培养学生的创新意识，而培养学生的创新意识，可通过信息技术整合，激发学生浓厚的学习兴趣和高涨的学习热情，使学生探索创新认识活动变成学生的心理需求，激活学生的创新热情。例1：教学《三角形三边的关系》时，为了让学生加深对三条边关系的理解，可以设计一道已知两边长度，判断第三边长度的开放式练习题，如：一个三角形的两边分别是5厘米、9厘米，第三条边可能是多少？引导学生去思考：是不是只要小于14厘米就能围成三角形呢？为了帮助学生更好的理解，可以把第三边的长度用课件逐步动态展示出它的范围，当第三边是13厘米时能否围成三角形，再把第三边逐渐缩短，观察第三边缩到多长时就不能围成三角形，使学生比较直观的感悟到第三边的长度应大于两边之差，小于两边之和，才能符合任意两边之和大于第三边的规律。例2：《梯形面积的计算》是小学第十册的教学内容，让学生利用小组合作的形式，积极参与讨论操作实践。有的小组从平行四边形的角度推导，将两个形状大小完全一样的梯形拼成一个平行四边形；有的小组把一个梯形用剪拼的方法，也得到了平行四边形；也有的小组从三角形的角度推导；还有的小组从长方形的角度推导。学生在小组合作中思考，把梯形通过移、拼、剪进行转换，开拓思路，再利用信息技术，把学生将梯形分别转换成平形四边形、三角形、长方形的过程，用不断闪烁的画面展示出来，从中得到启示，探究得出了梯形面积的计算公式。运用信息技术与数学的整合，使学生从“学习知识”变成了“研究问题”，从学习者变成了研究者，促使学生在课堂中不断进行探索，有效地培养学生的创新思维能力。在课堂教学中，我们运用科学信息化教学手段，可以使课堂教学形象、具体、生动、直观，有效地激发起学生的学习兴趣，使具体画面与抽象数学内容紧密联系，最大限度地为学生创设和提供参与机会，使学生正确形成完整的科学体系和空间观念，让学生充分感受、理解知识产生和形成过程。激活学生的思维，给他们一个自主的空间，让他们主动探究，主动去发现知识，掌握知识并运用知识，让他们的数学思维能力在数学教学中得到充分的发展。

『贰』 求人教版小学数学四年级下册导学案

五 年级数学上册导学案
主备人： 审核人： 主人姓名： 班级： 本周训练主题：
课题：容积和容积单位 课型：探究课 课时： 编号：【2011】050306
学习目标：1、理解容积意义,掌握常用的容积单位以及它们之间的进率。
2、掌握容积和体积的联系与区别,知道容积单位和体积单位之间的关系。
3、感受1毫升的实际意义,和应用所学之事解决生活中的简单问题。

重难点预设：建立容积和容积单位观念,容积单位换算
学习过程：

忆一忆，说给你的对子听一听。
我们学过的体积单位有哪些？他们之间的进率是多少？

明确目标：请把学习目标学一学。
一、自主学习
自学课本50、51页，然后回答下面的问题。
1、哪些物品上标有升、毫升？

2、什么是容积？你能举例说明吗？

3、容积单位有哪些？容积单位和体积单位之间的关系是什么？

4、长方体和正方体容器容积怎样计算？

一、试一试：
一种小汽车上的油箱，里面长5dm，
宽4dm，高2dm,。这个邮箱可以装
汽油多少升？

二、同学们，你们已经会解决长方体和正方体的容器的容积了。那么不规则物体的体积怎样解决呢？自学例6吧，你会有新的收获的!
自己试一试

（看谁摘得星星多）
一、 基础类
1、 4L=( )ml 4800 ml=( ) L
2.4L=( )ml 500 ml=( ) L
2、一个长方体冰柜，从里面量长87.5cm，宽50cm，深56cm，它的容积式多少升？

二、 拓展
完成课本52页做一做第2题。

方法提示：

写完1、2、3、4要背一背哟！

认真思考，总结后写下来

计算容器的容积，所有数据都要从容器里面量

不规则物体的体积无法直接计算，可以借助别的规则物体来测量。比如;水

『叁』 小学数学手抄报的知识。

师大版小学数学五年级（下册）知识点
一单元：《分数乘法》
分数乘法（一）
知识点：1、理解分数乘整数的意义。分数乘整数的意义同整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数的和的简便运算。
2、分数乘整数的计算方法。分母不变，分子和整数相乘的积作分子。能约分的要约成最简分数。
3、计算时，可以先约分在计算。
分数乘法（二）
知识点：1、结合具体情境，进一步探索并理解分数乘整数的意义，并能正确进行计算。
2、能够求一个数的几分之几是多少。
3、理解打折的含义。例如：九折，是指现价是原价的十分之九。
分数乘法（三）
知识点：1、分数乘分数的计算方法，并能正确进行计算。
分子相乘做分子，分母相乘做分母，能约分的可以先约分。计算结果要求是最简分数。
2、比较分数相乘的积与每一个乘数的大小。
真分数相乘积小于任何一个乘数；真分数与假分数相乘积大于真分数小于假分数。
二单元：《长方体（一）》
长方体的认识
知识点：1、认识长方体、正方体，了解各部分的名称。
2、长方体、正方体各自的特点。
顶 点 面 棱
个 数 个 数 形 状 大小关系 条数 长度关系
8 6 都是长方形，特殊的有两个相对的面是正方形，其余四个面是完全一样的长方形。 相对的面是完全一样的长方形。 12 可以分为三组，相对的棱平行且相等。
8 6 都是正方形。 每个面都是正方形。 12 长度都相等。
3、知道正方体是特殊的长方体。
4、能计算长方体、正方体的棱长总和。
长方体的棱长总和=（长+宽+高）*4或者是长*4+宽*4+高*4
正方体的棱长总和=棱长*12
灵活运用公式，能求出长方体的长、宽、高或是正方体的棱长。
展开与折叠
知识点：1、认识并了解长方体和正方体的平面展开图。
2、了解正方体平面展开图的几种形式，并以此来判断。
长方体的表面积
知识点：1、理解表面积的意义。是指六个面的面积之和。
2、长方体和正方体表面积的计算方法。
3、能结合生活中的实际情况，计算图形的表面积。
露在外面的面
知识点：1、在观察中，通过不同的观察策略进行观察。
如:一种是看每个纸箱露在外面的面，再加到一起；另一种是分别从正面、上面、侧面进行不同角度的观察，看每个角度都能看到多少个面，再加到一起。
2、发现并找出堆放的正方体的个数与露在外面的面的面数的变化规律。
三单元：《分数除法》
倒数
知识点：1、发现倒数的特征并理解倒数的意义。
如果两个数的乘积是1，那么我们称其中一个数是另一个数的倒数。倒数是对两个数来说的，并不是孤立存在的。
2、求倒数的方法。
把这个数的分子和分母调换位置。
3、1的倒数仍是1；0没有倒数。
0没有倒数，是因为在分数中，0不能做分母。
分数除法（一）
知识点：1、分数除以整数的意义及计算方法。
分数除以整数，就是求这个数的几分之几是多少。
分数除以整数（0除外）等于乘这个数的倒数。
分数除法（二）
知识点：1、一个数除以分数的意义和基本算理。
一个数除以分数的意义与整数除法的意义相同；一个数除以分数等于乘这个数的倒数。
2、掌握一个数除以分数的计算方法。
除以一个数（0除外）等于乘这个数的倒数。
3、比较商与被除数的大小。
除数小于1，商大于被除数；
除数等于1。商等于被除数；
除数大于1，商小于被除数。
分数除法（三）
知识点：1、列方程“求一个数的几分之几是多少”。
2、利用等式的性质解方程。
3、理解打折的含义。
如：打8折就是指现价是原价的十分之八。
数学与生活
粉刷墙壁
知识点：1、明确我们在粉刷教室墙壁时必须知道的条件。
2、根据实际情况进行计算相应的面积。
折叠：
知识点：1、体会立体图形与展开图形之间的关系，发展空间观念。
2、能正确判断平面展开图所对应的简单立体图形。
四单元：《长方体（二）》
体积与容积
知识点：1、体积与容积的概念。
体积：物体所占空间的大小叫作物体的体积。
容积：容器所能容纳入体的体积叫做物体的容积。
体积单位
知识点：1、认识体积、容积单位。
常用的体积单位有：立方厘米、立方分米、立方米。
2、感受1立方米、1立方分米、1立方厘米以及1升、1毫升的实际意义。
补充知识点：冰箱的容积用“升”作单位；我们饮用的自来水用“立方米”作单位。
长方体的体积
知识点：1、结合具体情境和实践活动，探索并掌握长方体、正方体体积的计算方法。
长方体的体积=长*宽*高
正方体的体积=棱长*棱长*棱长
长方体（正方体）的体积=底面积*高
2、能利用长方体（正方体）的体积及其他两个条件求出问题。如：长方体的高=体积/长/宽
补充知识点：长方体的体积=横截面面积*长
体积单位的换算
知识点：1、体积、容积单位之间的进率。
相邻两个体积单位、容积单位之间的进率是1000。
有趣的测量
知识点：1、不规则物体体积的测量方法。
2、不规则物体体积的计算方法。
五单元：《分数混合运算》
分数混合运算（一）
知识点：1、体会分数混合运算的运算顺序和整数是一样的。
分数混合运算（二）
知识点：整数的运算律在分数运算中同样适用。
分数混合运算（三）
知识点：1、利用方程解决与分数运算有关的实际问题。
2、分数中的估算。
3、利用线段图来分析题中的数量关系。
4、对最后结果的检验。
六单元：《百分数》
百分数的意义
知识点：1、百分数的意义。
百分数表示一个数另一个数的百分之几。百分数也叫百分比、百分率。
2、能正确读写百分数。
3、结合生活中具体的例子理解百分数的意义。
合格率（百分数的应用一）
知识点：1、解决一个数是另一个数的百分之几的实际问题。
这部分知识同分数除法中求一个数是另一个数的几分之几相同。
2、能正确地将小数、分数化成百分数。
小数化成百分数的方法：把小数化成百分数，只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号；把分数化成百分数，可以先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数），再写成百分数；也可以把分子分母同时乘一个数将其化成一百分之几的数，再写成百分数。
蛋白质含量（百分数的应用二）
知识点：1、求一个数的百分之几是多少。方法同求一个数的几分之几是多少。
2、百分数化成小数、分数的方法。
百分数化成分数，先把百分数改写成分数，能约分的要约成最简分数。百分数化成小数时，要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。
这个月我当家（百分数应用三）
知识点：1、用方程解决“已知一个数的百分之几多少，求这个数”的实际问题。
2、体会百分数与统计的关系。
数学与购物
估计费用
知识点：根据实际的问题，选择合理的估算策略，进行估算。
购物策略
知识点：根据实际需要，对常见的几种优惠策略加以分析和比较，并能够最终选择最为优惠的方案。
包装的学问
知识点：1、探索多个相同长方体叠放后使其表面积最小的最有策略。
2、掌握解决问题的基本方法和过程。
七单元：《统计》
扇形统计图
知识点：1、认识扇形统计图，了解扇形统计图的特点与作用。
2、能读懂扇形统计图，并能从中获得相应的数学信息。
奥运会（统计图的选择）
知识点：1、了解条形统计图、扇形统计图、折线统计图的特点。
条形统计图便于看出数据的多少；扇形统计图能清楚地看出整体与部分之间的关系；折线统计图能看出数据的变化趋势。
2、能够根据需要选择最为直观、有效地统计图表示数据。
中位数和众数
知识点：1、中位数和众数的意义。
将一组数据从小到大（或从大到小）排列，中间的数称为这组数据的中位数。
一组数据中出现次数最多的数称为这组数据的众数。
2、中位数和众数的求法。
将一组数据按大小的顺序排列，如果是奇数个数据，中间的数就为这组数据的中位数，如果是偶数个数据，中间两个数的平均数为这组数据的中位数。
众数，就是一组数据中出现次数最多的，有可能是多个众数。
3、能根据具体的问题，选择合适的统计两表示数据的不同特征。
了解同学
知识点：综合运用所学的统计知识，发展学生的统计观念。

数学北师大版五年级下册知识点罗列汇总表

单元 各单元目录 对 应 知 识 点
第一单元
分数乘法 分数乘法（一） 1、分数乘整数“几个几分之几是多少”的意义
2、分数乘整数的计算方法
3、解决相应的分数乘整数的实际问题
分数乘法（二） 1、分数乘整数“一个数的几分之几是多少”的意义
2、解决相应的分数乘整数的实际问题
分数乘法（三） 1、分数乘分数的意义
2、分数乘分数的计算方法
3、解决相应分数乘分数的实际问题
第二单元
长方体(一) 长方体的认识 1、长方体、正方体各部分名称
2、长方体和正方体特点
3、解决运用长方体和正方体特点的相应问题
展开与折叠 1、长方体、正方体的展开图，
2、对长方体、正方体特点的再认识
长方体的表面积 1、长方体、正方体的表面积
2、长方体、正方体表面积的计算方法
3、解决运用长方体和正方体表面积的相应问题
露在外面的面 1．解决有关物体外露面的个数及面积的问题
第三单元
分数除法 倒数 1．倒数的意义
2．求一个数的倒数
分数除法（一） 1、分数除以整数的意义
2、分数除以整数的计算方法
3、解决相应分数除以整数的的实际问题
分数除法（二） 1、整数除以分数的意义
2、一个数除以分数的计算方法
3、解决相应一个数除以分数的的实际问题
分数除法（三） 1、解简单的分数方程：ax=b
2、用方程解决简单的有关分数的实际问题
数学
与生活 分刷墙壁 1、综合应用图形的面积、计算解决生活中的问题
折叠 1、立体图和平面展开图之间的关系
2、判断平面展开图所对应的简单立体图形
第四单元
长方体(二) 体积和容积 1、体积的含义
2、容积的含义
体积单位 1、体积单位：立方米、立方分米、立方厘米
2、容积单位：升、毫升
1、长方体、正方体的计算方法
长方体的体积 2、解决长方体正方体的体积的实际问题
体积单位的换算 1、体积、容积单位之间的进率
2、体积、容积单位之间换算。
有趣的测量 1、不规则物体体积的测量方法
第五单元
分数混合运算 分数混合运算(一) 1、分数混合运算顺序
2、“求一个数是另一个数的几分之几”的混合实际运用
分数混合运算(二) 1、分数混合运算律
2、“求一个数比另一个数多（少）几分之几”的混合实际运用
分数混合运算(三) 1、解稍复杂的分数方程：ax±b=c，ax±bx=c，
2、利用方程解决与分数运算有关的实际问题
百分数 百分数的认识 1、百分数的意义
2、正确读写百分数
合格率 1、小数、分数化成百分数
2、合格率、成活率、出勤率等的意义
3、求“一个数是另一个数的百分之几”的实际运用
蛋白质含量 1、百分数化成小数、分数
2、求“一个数的百分之几是多少”的实际运用
这月我当家 1、百分数与统计的联系
2、“已知一个数的百分之几是多少，求这个数”的实际运用
3、用方程解决有关百分数的简单实际问题
数学
与购物 估计费用 1、选择合理的估算策略
购物策略 1、根据实际需要，比较常见的几种优惠策略
包装的学问 1、多个相同长方体叠放后使其表面积最小的最优策略
这些是知识点，你抄上吧。花边可以画的好看、简单一点

『肆』 求一份小学五年级的数学试卷，不要太多。

小学五年级数学试题
五年级期中试卷
一、填空题（20分）
1、在1、2、8、17、18、34、97、37、57、84这些数中：（ ）是奇数，（ ）是偶数。（ ）是质数，（ ）是合数。
2、 表示把（ ）平均分成（ ）份，表示这样（ ）的数；也可以把（ ）平均分成（ ）份，表示这样（ ）份的数。
3、（ ）既不是质数也不是合数，（ ）既是质数又是偶数。
4、7040立方厘米=（ ）立方分米 3045毫升=（ ）升（ ）毫升27立方分米 = （ ）升 9立方米 = （ ）立方分米
5、在 中填上适当的数，使得71 能被2整除， 17 4有约数3， 42 是5的倍数。
6、把48分解质因数是（ ）。
7、A=2×2×3×5 B=2×2×2×3 A与B两数的最小公倍数是（ ），最大公约数是（ ）。
8、棱长之和为108厘米的正方体，它的表面积是（ ）平方厘米，体积是（ ）立方厘米。 9、12个小方块，平均分成4份，每份有（ ）块，每份占总数的（ ）。 10、把、和三个分数，按照从小到大的顺序排列（ ）。 二、选择题（在括号里填上正确答案的序号）（16分） 1、在下面的式子里能整除的的是：（ ）
A 42÷0.7 B 2.5÷5 C 48÷12 D 12÷48 2、42的全部约数中，质数有：（ ）
一个 B 二个 C 三个 D 四个
3、用棱长1厘米的正方体木快，拼一个大正方体，至少要用这样的正方体木快（ ）快 A 二个 B 四个 C 八个 D 九个 4、甲数是乙数的4倍，甲乙两数的最小公倍数是（ ） A 甲数 B 乙数 C 4 D 甲数×乙数 5、水桶占地面积多大，是指水桶的（ ） A 表面积 B 体积 C 容积 D 底面积
6、一根4米长的圆木，平均锯成7段，每段是全长的（ ） A B 米 C D 米
7、能同时被2、3、5整除的自然数，其个位上一定是（ ） A 0 B 1 C 2 D 5 8、正方体的棱长扩大3倍，它的体积扩大（ ）倍 A 3 B 9 C 36 D 27
三、判断题（正确的在括号里填“√”，错误的填“×”）（8分） 1、3是约数，12是倍数。 （ ） 2、1千米的等于4千米的。 （
3
、体积是
1
立方米的正方体，它的棱长是
1
米。

（

）

4
、两个数的最大公约数一定比这两个数中任何一个小。

（

）

5
、一个分数的分子表示它分数单位的个数，分子是
7
，表示有
7
个分数单位。

（

）

6
、因为
1
米
=100
厘米，所以
1
立方米
=100
立方厘米。

（

）

7
、互质的两个数，必定都是质数。

（

）

8
、五（
1
）班有学生
40
人，其中男生有
27
人，女生占全班人数的

（

）

四、计算（共
24
分）

1
、求下面个组数中的最大公约数（
6
分）

14
和
35
22
和
33
17
和
7

2
、求下面各组数的最小公倍数（
6
分）

7
、
14
和
35
12
、
15
和
60
3
、
4
和
9

3
、计算下面各长方体和正方体的体积和表面积（
12
分）

（略）

五、应用题（
30
分）

1
、某电器厂
2002
年电脑产量如下

季度第一季度第二季度第三季度第四季度

产量（万台）
25282930
（
1
）平均每一季度生产多少万台？

（
2
）平均每月生产多少万台？（得数保留一位小数）

2
、一个无盖的长方体木箱，长
1.2
米，宽
0.8
米，高
0.6
米。做这个木箱至少要用多少平方米的木扳？

3
、一种汽车上的油箱，里面长
8
分米，宽
5
分米，深
4
分米。如果一升油重
0.8
千克，这个油箱能装油多少千克？

4
、果园里种有梨树、桃树。已知梨树有
43
棵，桃树有
51
棵。梨树的棵数是桃树的几分之几？桃树的棵数是总棵数
的几分之几？

5、把一个棱长是0.5米的正方体钢坯，锻成横截面面积是10平方分米的长方体钢材。锻成的钢材有多长？（用方程解答）
思考题（10分）
一个长方体的长16分米，高6分米，如果沿着水平的方向把它横切成两个小长方体，那么表面积增加160平方分米，求原来长方体的体积？

『伍』 关于容积和体积的小学数学题

1、用水的体积除以甲乙两个底面积的和，
2、用铁块的底面积乘以24。用这个体积除以容器底面积
得到水下降的高
再用24减去得到的结果，即是答案。

『陆』 怎么证明圆的面积公式用小学方式

圆面积s=7(d/3)²

人们都清楚的认识到：正6边形1次倍边成的是正12边形、2次倍边成的是正24边形、3次倍边成的是正48边形、……n次倍边成的就给它叫正6×2ⁿ边形(简称正n边形)。“正n边形的周长与过中心点的对角线之比(是3.1415926……比1)叫做正n边率”。(n是一个不可丢失或忽略的0、1、2、3…无限无穷大的无极限的自然数)。

由于n是表示无限无穷大的无极限的自然数，所以正n边率(3.1415926……所谓π值)也是一个无限无穷大无极限的数。

当圆的直径与正n边形过中心点的对角线重叠时，虽然直径和对角线的长短相等。但是二者的周长并没有重叠，只是近似、接近、趋近或相当于就是不等于。原因是任一条线上的点都是无限的，内接正n边形周长上的点也就永久都不会与圆上的点完全重叠，

若内接正n边形与圆分开，那么求正n边率还依然是正n边率、求圆周率也依然是圆周率。

正n边率不等于圆周率；圆周率也不等于正n边率。

因为圆周率是指：“圆周长与直径的比”，它们的比是6+2√3比3；而正n边率是指：“正n边形的周长与过中心点的对角线的比”，它们的比是3.1415926……比1。

为此，正n边形的周长公式2πR只是代替圆周长公式，并非等于圆周长；正n边形的面积公式πR²只是代替圆面积公式，并非等于圆面积。

从客观上讲：圆是圆，正n边形是正n边形。当正n边形套上外接圆时，用圆内接正n边形的周长公式2πR来计算周长、周长必然小于圆周长；当圆套上外切正n边形时，用圆外切正n边形的面积公式πR²来计算面积、面积必然大于圆面积(注意：其实πR²是圆的外切正n边形面积与长方形面积的相互等积转化，并非圆面积与长方形面积的相互等积转化)。

为此π取正n边率的同一个值时，会给公式2πR和πR²存在着：π要想满足公式2πR,就会背离公式πR²；π要想满足公式πR²,就会背离公式2πR的自相矛盾的问题。

根据爱因斯坦的“相对论”原理推出：“物质与物质聚集结合成一个(固、液、汽)整体叫物体；一个被空间包围着的物体的大小所含单位立方的多少叫做体积。非物质与非物质聚集结合成一个完整的真空叫空间；一个被物体包围着的空间的大小所含单位立方的多少叫做容积。”

由于物体与空间的区别是物质与非物质的区别，所以宇宙是由物质和非物质构建的、是物体和空间共同占据了大自然。

因此, 世上所有物体和所有空间都是与生俱有相对共存的。二者静止状态下，根本就不存在“物体占据空间或空间占据物体”的问题。只有物体与空间以等量的一个物体体积与一个空间容积对换位置、产生物体与空间互动，才会出现“物体占据空间的同时、空间又占据了物体”。因为物体体积和空间容积是相对的，所以体积与容积也是相对的。二者缺一不可，否则物体就无法运动或搬运。

由于体积与容积相对的最小极限是零(也就是几何点是指：零体积或零容积、零面积或零空积、零长度或零距离的零点)；而物体的体积与空间的容积都大小无限不为零，(也就是：体积或容积、面积或空积、长度或距离都大于零)不存在最大或最小，大小无极限。

所以无限等份几何中的体、面、线的每个无穷小依然是一个无限无穷小，无极限。无限无穷小就是无限无穷小，无限无穷小不等于最小的极限零点。

以上是“相对论”当中《正负几何论》与“极限”的冰山一角。

因此，过去人们等份圆面、来等积转化拼成长方形面的起点就是一个误解。也就是圆面积s不等于长方形面积πR²，确切的讲：“圆面积s=7(d/3)² ”(d表示直径)。π取3.1415926……也不是圆的周长与直径的比，准确的说：“它是正n边形的周长与过中心点的对角线的比”。

那么，为什么说：“圆面积等于直径三分之一平方的七倍”呢?

这得要从软化等积变形说起。

例如：一块长7米、宽1米、高1米的长方体橡皮泥，它的上面或下面的长方形面积分别都是7平方米。当7立方米的长方体橡皮泥等积变成高1米的一个圆柱体时，它的上底或下底圆面积会依然是7平方米。也就是一个7平方米的长方形面积软化等积变成了一个7平方米的圆面积。如果把1个单位长用a表示，那么一个7平方米的圆面积就是7a² 。为此任一个圆面积S都可以看做为7a²。

向左转|向右转

下面由棋盘上的每个方格为一个a²来分析：七个a² 软化等积变成一个(图-1)圆面积是7a²；圆面积7a²再软化等积变成一个(图-2)H形面积也是7a²；在(图-2)H形上，另外增加两个a²就拼成了一个(图-3)大正方形面积9a²；把这三个图形称为(上三图)。它们各自面积的大小都是一同随着a的大小变化着的。

一个棋子为一个圆点,七个棋子就是七个圆点,圆点的直径Q叫点径。中间一个圆点,外围六个圆点，围绕一周排列相切构成一个(图-4)圆形轮廓,轮廓的外切圆面积是s、直径是3Q；再由七个圆点排列相切构成一个(图-5）H形轮廓,轮廓的外切H形面积是7Q²；最后用九个圆点排列相切构成一个(图-6)正方形轮廓,轮廓的外切正方形面积是9Q²。把这三个图形称为(下三图),它们各自外切形面积的大小都是一同随着点径Q的大小变化着的。

以上六个图形不难看出：

(图-1)圆面积7a²和(图-2)H形面积7a²分别都是(图-3)大正方形面积9a²的九分之七，(图-4)外切圆是(图-6)外切正方形的内切圆。

从六个图形的上下对着看：由于，第一组、（图-1）圆与(图-4）外切圆相似；第二组、(图-2)H形与(图-5)外切H形相似；第三组、(图-3)大正方形与（图-6）外切正方形相似。所以它们每一组相似形的面积和面积是否相等,都与a和Q有关；或a和Q是否相等,都与每一组相似形的面积和面积有关。

当a=Q时，很明显：第二组和第三组的相似形都是：a和Q相等，相似形的面积与面积就相等(7a²=7Q²、9a²=9Q²)；或相似形的面积与面积相等(7a²=7Q²、9a²=9Q²)，a和Q就相等。

但第一组相似形是否a和Q相等、面积与面积就相等呢？

这得需要通过数据来推理证实：

已知：(图-4)外切圆面积s是63平方厘米、a和Q又相等。此时(图-4)这个63平方厘米的圆面积，它既锁定了(下三图)各自对应的面积也锁定了(上三图)各自对应的面积。

因为a等于Q，所以(图-4) 63平方厘米的一个圆既是（图-6）正方形的内切圆也是(图-3)大正方形的内切圆。为此（图-6）和(图-3)的内切圆面积也分别都是63平方厘米。

由于(图-3)大正方形能做为63平方厘米的圆的外切正方形，是根据大正方形的边长3a等于内切圆的直径3Q(内切圆的直径3Q又是根据63平方厘米的圆面积产生的)。

所以(图-3)内切圆面积的任意大小，都会改变(图-3)大正方形的边长3a的大小，使边长3a不等于63平方厘米的圆的直径3Q，(图-3)大正方形也就不能做为63平方厘米的圆的外切正方形。

如果(图-3)内切圆面积大于63平方厘米，那么(图-2) 7a²的H形和(图-3)9a²的大正方形就会同时对应变大(7a²>7Q²、9a²>9Q²)。显示出9a²的大正方形向外扩展，脱离了已知63平方厘米的内切圆)，产生边长3a大于直径3Q，违背了a等于Q。

如果(图-3)内切圆面积小于63平方厘米，那么(图-2) 7a²的H形和(图-3)9a²的大正方形就会同时对应变小(7a²<7Q²、9a²<9Q²)。显示出9a²的大正方形向内收缩，也会脱离了已知63平方厘米的内切圆，产生边长3a小于直径3Q，也违背了a等于Q。

因此，只有(图-3)内切圆面积等于(图-4)外切圆面积63平方厘米，才能7a²=7Q²、9a²=9Q²，使9a²的大正方形作为63平方厘米的圆的外切正方形。同时大正方形的边长3a也等于内切圆的直径3Q，保持a与Q相等。所以(图-3)大正方形的大小是根据已知63平方厘米的内切圆确定的。

由此可见：对任一个圆面积的大小都是如此。当(图-1)圆与(图-3) 63平方厘米的内切圆重叠时。

如果(图-1)圆面积7a²大于63平方厘米，那么(图-2) 7a²的H形和(图-3)9a²的大正方形就会同时对应变大(7a²>7Q²、9a²>9Q²)。显示出9a²的大正方形向外扩展，脱离了已知63平方厘米的内切圆，产生边长3a大于直径3Q，出现a也大于Q。

如果(图-1)圆面积7a²小于63平方厘米，那么(图-2) 7a²的H形和(图-3)9a²的大正方形就会同时对应变小(7a²<7Q²、9a²<9Q²)。显示出9a²的大正方形向内收缩,也会脱离了已知63平方厘米的内切圆,产生边长3a小于直径3Q，出现a也小于Q。

因此，只有(图-1)圆面积7a²等于(图-3)内切圆面积63平方厘米，才能7a²=7Q²、9a²=9Q²，使9a²的大正方形作为63平方厘米的圆的外切正方形。同时正方形的边长3a也与63平方厘米的圆的直径3Q相等，保持a等于Q。所以(图-1)圆面积7a²的大小是根据(图-3)内切圆面积确定的。

证实了：(图-1)圆面积7a²等于(图-4)外切圆面积s。也说明了：“圆面积是它外切正方形面积的9分之7”。

因为圆面积S=7a²，所以a=√s/7. 也就是说：如果(图-3)正方形的内切圆面积是7平方厘米，那么a=√7/7=1厘米。如果(图-3)正方形的内切圆面积是28平方厘米，那么a=√28/7=2厘米。如果(图-3)正方形的内切圆面积是63平方厘米，那么a=√63/7=3厘米。

上述证明了：第一组相似形同样是：a和Q相等、相似形的面积与面积就相等。

为此，推出它们三组相似形：每一组相似形的面积和面积相等,a和Q就相等；或a和Q相等,每一组相似形的面积和面积就相等。

同时也发现了这样一部公理：“如果圆面积是7a²，那么它的外切正方形面积就是9a²”。

根据公理推出定理：“圆面积等于直径三分之一平方的七倍”。

圆的面积公式：∵s=7a². d=3a.

∴s=7(d/3)². 向国庆“70”周年献礼！

HPFYKG 一位不识字的数学发现 dongjingui二〇一四年六月二十七日

『柒』 小学数学立体图形认识的判断题

在不计物体厚度的情况下，物体的容积和它的体积相等，它们计算方法相同。
判断题没给出厚度不计的条件，判断错误。

『捌』 关于容积和体积的小学数学题

1、用水的体积除以甲乙两个底面积的和，

2、用铁块的底面积乘以24。用这个体积除以容器底面积
得到水下降的高
再用24减去得到的结果，即是答案。