一群小学生h

『壹』 近世代数上的考试题目：设G是一个群，又有H<=K<=G.证明：（G:H）=（G:K)(K;H)。

证明：先设G为有限群，则K、H也为有限群
因为H<=G,设G=∪（i=1到n)giH,gi遍历G的左陪集gH的代表回元集
同理可设答G=∪（j=1到m)xjK,xj遍历G的左陪集xK的代表元集
又设K=∪（l=1到s)klH,kl遍历K的左陪集kH的代表元集
则G=∪（1<=j<=m)xjK=∪xj∪klH=∪∪(1<=j<=m,1<=l<=s)xjklH
=∪（1<=i<=n)giH
因为G关于子群H的左陪集个数是唯一的，所以有n=ms，即[G:H]=[G:K][K:H]
若G为无限群，将上述的n用∞取代，m,s也做相应调整，仿上也能证明结论。
证毕。

『贰』 忍者龙剑传堕落的公主，女人被一群怪兽上那个，隼龙只在刚出场有，大部分都是女忍被“如何如何”

我知道第二部，第一部是霞，第二部红叶，第三部凌音

『叁』 一群H原子处于量子数n=3的激发态，当它们越迁时有可能放出几种能量的光子

只有三种光子。
一群和一个的结果是一样的，因为说的是可能性。

『肆』 N是G的正规子群,H是G的子群,H关于G的指数与N的阶互素,证明N是H的正规子群。 求大神做一下！

|首先，（[G:H], |N|)=1可以推出：
存在整数a,b，使得 a|G|/|H|+b|N|=1
所以a|G|+b|N|*|H|=|H| ……………………（△）
其次，因为N是正规子群，所以NH=HN是G的子群，并且
|NH|=|N||H|/|N∩H| 即 |NH|*|N∩H|=|N|*|H|，所以|NH|整除 |N|*|H|
然后，刚才说了NH是G的子群，所以|NH|整除|G|
所以，有(△)可知：|NH|整除|H|
所以NH=H，从而N是H的子群而且正规

『伍』 设H是群G的子群，证明：对任意的g属于G ，集合K={g＾-1hg|属于H}是G的子群，并证明H与K之间群同构

⑴。袭 看任意k∈K.k＝g＾-1hg, h∈H. H是子群，h^-1∈H.

从而k^-1＝（g＾-1hg）^-1＝g＾-1（h^-1）g∈K.①

又设：j＝g＾-1rg∈K,r∈H.kj＝（g＾-1hg）（g＾-1rg）＝g＾-1hjg

H是子群,hj∈H,从而kj∈K.②.从①②，K也是子群。

⑵。 作H到K的映射f：h→f（h）＝g^-1hg.容易验证f是H到K的单全射，并且

f（h^-1）＝（f（h））^-1,f（hj）＝f（h）f（j）[h、j∈H]

[验证就留给楼主啦！]

∴f是H与K之间的一个（群）同构映射。即H与K是（群）同构的。

『陆』 设H是有限群G的一个子群. p是|G|的最小素因子. 如果|G|/|H|=p,试证H一定是G的一个正规子群.

为|因为|G|/|H|=p，所以H的左陪集有p个。
令X为H的全体左陪集所成的集合: X={H，a1H，a2H，...，a(p-1)H}。
定义群作回G在X上的群答作用为 g(xH)=(gxH)，g∈G。
因此有同态σ:G→S(X)
(这里S(X)表示集合X上的置换构成的对称群。由于|X|=p，所以|S(X)|=p!。)
上面括号里的内容不清楚可以追问。
由群同态基本定理可得G/(Ker σ)≌Imσ<S(X)，其中Ker σ是G的正规子群。
则|G/(Ker σ)|整除|S(X)|，即[G：Ker σ]整除(G，p!)=p
若x∈Ker σ，则x(H)=xH=H，所以x∈H
因此Ker σ是H的子群，则[G：Ker σ]>[G：H]=p。
而[G：Ker σ]又整除p，则Ker σ只能等于H。
说明H一定是G的一个正规子群。

『柒』 设H是群G的子群,证明:H在G中的所有左和右陪集中有且只有一个子群.

G=eH∪a1H∪a2H…∪akH=H∪a1H∪a2H…∪akH

是G的一个划分，在这些左陪集中只有H含有幺元e，故H是仅有一个子群。

再给出一个证明：

证明设a是G中任意元，aH是G的关于子群H的一个左陪集，如果aH是子群，则幺元e属于aH，即存在H中的元h，e=ah，a=h^-1，H是子群，故a也属于H；

于是对任意H中的元h有ah属于H，即aH包含于H，对任意H中元h，h=aa^-1h，由于a^-1h属于H，H包含于aH，故aH=H。

(7)一群小学生h扩展阅读：

群是一种只有一个运算的、比较简单的代数结构；是可用来建立许多其他代数系统的一种基本结构。

如果群G的非空子集合H对于G的运算也成一个群，那么H称为G的子群。 设G 是群，H是G的非空子集，且H 关于G 上的运算 也构成群 ，则称H 是G的子群。

子群是群的特殊的非空子集。群G的非空子集H，若对G的乘法也成为群，则称H为G的子群，记为H≤G。若子群H≠G，则称H为G的真子群，记为HG或简记为H<G。任何一个非单位元群G至少有两个子群，G自身以及由单位元e作成的单位元群{e}(或用{1}或1表示)，称为G的平凡子群。

不是平凡子群的子群称为非平凡子群。群G的非空子集H为G的子群的充分必要条件是：对任意的a，b∈H，恒有ab∈H.若{Hi|i∈I}是G的子群的集合，I是一个指标集，则所有Hi的交Hi是G的一个子群。

『捌』 离散数学：设<G,*>是一个偶数阶的群，H是G的子群，|H|=|G|/2，证明H是G的正规子群。

这个是显然啊…因为[G：H]=2，所以对任意的a不属于H，有G=H并aH=H并Ha，所以aH=Ha

『玖』 离散数学群论，G是一个群，H是G的一个子群，H仅有2个相异的左陪集，求证H是一个正规子群。

这是一个很经典复的群论习制题，也不难。
H只有两个左陪集：H和gH
那么G=H ∪ gH，而且|H|=|G|/2，所以H也只能有两个右陪集：H和Hg'
而且G=H ∪ Hg'，所以gH=Hg'
现在任取x∈G
如果x∈H，那么xH=Hx=H
如果x∉H，那么xH≠H，所以xH=gH。同样，Hx≠H，所以Hx=Hg'
所以xH=gH=Hg'=Hx
所以H是正规子群

『拾』 语C群找人。H性质群。419一类的。纯洁勿入。

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