人教版小学六年级数学上册知识点

⑴ 小学人教版数学六年级上册知识点

基本概念：行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体速度、时间、行程三者之间的关系。
基本公式：路程＝速度×时间；路程÷时间＝速度；路程÷速度＝时间
关键问题：确定行程过程中的位置
相遇问题：速度和×相遇时间＝相遇路程（请写出其他公式）
追击问题：追击时间＝路程差÷速度差（写出其他公式）
流水问题：顺水行程＝（船速＋水速）×顺水时间 逆水行程＝（船速－水速）×逆水时间
顺水速度＝船速＋水速 逆水速度＝船速－水速
静水速度＝（顺水速度＋逆水速度）÷2 水 速＝（顺水速度－逆水速度）÷2
流水问题：关键是确定物体所运动的速度，参照以上公式。
过桥问题：关键是确定物体所运动的路程，参照以上公式。

仅供参考：

【和差问题公式】

（和+差）÷2=较大数；

（和-差）÷2=较小数。

【和倍问题公式】

和÷（倍数+1）=一倍数；

一倍数×倍数=另一数，

或 和-一倍数=另一数。

【差倍问题公式】

差÷（倍数-1）=较小数；

较小数×倍数=较大数，

或 较小数+差=较大数。

【平均数问题公式】

总数量÷总份数=平均数。

【一般行程问题公式】

平均速度×时间=路程；

路程÷时间=平均速度；

路程÷平均速度=时间。

【反向行程问题公式】反向行程问题可以分为“相遇问题”（二人从两地出发，相向而行）和“相离问题”（两人背向而行）两种。这两种题，都可用下面的公式解答：

（速度和）×相遇（离）时间=相遇（离）路程；

相遇（离）路程÷（速度和）=相遇（离）时间；

相遇（离）路程÷相遇（离）时间=速度和。

【同向行程问题公式】

追及（拉开）路程÷（速度差）=追及（拉开）时间；

追及（拉开）路程÷追及（拉开）时间=速度差；

（速度差）×追及（拉开）时间=追及（拉开）路程。

【列车过桥问题公式】

（桥长+列车长）÷速度=过桥时间；

（桥长+列车长）÷过桥时间=速度；

速度×过桥时间=桥、车长度之和。

【行船问题公式】

（1）一般公式：

静水速度（船速）+水流速度（水速）=顺水速度；

船速-水速=逆水速度；

（顺水速度+逆水速度）÷2=船速；

（顺水速度-逆水速度）÷2=水速。

（2）两船相向航行的公式：

甲船顺水速度+乙船逆水速度=甲船静水速度+乙船静水速度

（3）两船同向航行的公式：

后（前）船静水速度-前（后）船静水速度=两船距离缩小（拉大）速度。

（求出两船距离缩小或拉大速度后，再按上面有关的公式去解答题目）。

仅供参考:

【工程问题公式】

（1）一般公式：

工效×工时=工作总量；

工作总量÷工时=工效；

工作总量÷工效=工时。

（2）用假设工作总量为“1”的方法解工程问题的公式：

1÷工作时间=单位时间内完成工作总量的几分之几；

1÷单位时间能完成的几分之几=工作时间。

（注意：用假设法解工程题，可任意假定工作总量为2、3、4、5……。特别是假定工作总量为几个工作时间的最小公倍数时，分数工程问题可以转化为比较简单的整数工程问题，计算将变得比较简便。）

【盈亏问题公式】

（1）一次有余（盈），一次不够（亏），可用公式：

（盈+亏）÷（两次每人分配数的差）=人数。

例如，“小朋友分桃子，每人10个少9个，每人8个多7个。问：有多少个小朋友和多少个桃子？”

解（7+9）÷（10-8）=16÷2

=8（个）………………人数

10×8-9=80-9=71（个）………………………桃子

或8×8+7=64+7=71（个）（答略）

（2）两次都有余（盈），可用公式：

（大盈-小盈）÷（两次每人分配数的差）=人数。

例如，“士兵背子弹作行军训练，每人背45发，多680发；若每人背50发，则还多200发。问：有士兵多少人？有子弹多少发？”

解（680-200）÷（50-45）=480÷5

=96（人）

45×96+680=5000（发）

或50×96+200=5000（发）（答略）

（3）两次都不够（亏），可用公式：

（大亏-小亏）÷（两次每人分配数的差）=人数。

例如，“将一批本子发给学生，每人发10本，差90本；若每人发8本，则仍差8本。有多少学生和多少本本子？”

解（90-8）÷（10-8）=82÷2

=41（人）

10×41-90=320（本）（答略）

（4）一次不够（亏），另一次刚好分完，可用公式：

亏÷（两次每人分配数的差）=人数。

（例略）

（5）一次有余（盈），另一次刚好分完，可用公式：

盈÷（两次每人分配数的差）=人数。

（例略）

【鸡兔问题公式】

（1）已知总头数和总脚数，求鸡、兔各多少：

（总脚数-每只鸡的脚数×总头数）÷（每只兔的脚数-每只鸡的脚数）=兔数；

总头数-兔数=鸡数。

或者是（每只兔脚数×总头数-总脚数）÷（每只兔脚数-每只鸡脚数）=鸡数；

总头数-鸡数=兔数。

例如，“有鸡、兔共36只，它们共有脚100只，鸡、兔各是多少只？”

解一 （100-2×36）÷（4-2）=14（只）………兔；

36-14=22（只）……………………………鸡。

解二 （4×36-100）÷（4-2）=22（只）………鸡；

36-22=14（只）…………………………兔。

（答 略）

（2）已知总头数和鸡兔脚数的差数，当鸡的总脚数比兔的总脚数多时，可用公式

（每只鸡脚数×总头数-脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=兔数；

总头数-兔数=鸡数

或（每只兔脚数×总头数+鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只免的脚数）=鸡数；

总头数-鸡数=兔数。（例略）

（3）已知总数与鸡兔脚数的差数，当兔的总脚数比鸡的总脚数多时，可用公式。

（每只鸡的脚数×总头数+鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=兔数；

总头数-兔数=鸡数。

或（每只兔的脚数×总头数-鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=鸡数；

总头数-鸡数=兔数。（例略）

（4）得失问题（鸡兔问题的推广题）的解法，可以用下面的公式：

（1只合格品得分数×产品总数-实得总分数）÷（每只合格品得分数+每只不合格品扣分数）=不合格品数。或者是总产品数-（每只不合格品扣分数×总产品数+实得总分数）÷（每只合格品得分数+每只不合格品扣分数）=不合格品数。

例如，“灯泡厂生产灯泡的工人，按得分的多少给工资。每生产一个合格品记4分，每生产一个不合格品不仅不记分，还要扣除15分。某工人生产了1000只灯泡，共得3525分，问其中有多少个灯泡不合格？”

解一 （4×1000-3525）÷（4+15）

=475÷19=25（个）

解二 1000-（15×1000+3525）÷（4+15）

＝1000-18525÷19

=1000-975=25（个）（答略）

（“得失问题”也称“运玻璃器皿问题”，运到完好无损者每只给运费××元，破损者不仅不给运费，还需要赔成本××元……。它的解法显然可套用上述公式。）

（5）鸡兔互换问题（已知总脚数及鸡兔互换后总脚数，求鸡兔各多少的问题），可用下面的公式：

〔（两次总脚数之和）÷（每只鸡兔脚数和）+（两次总脚数之差）÷（每只鸡兔脚数之差）〕÷2=鸡数；

〔（两次总脚数之和）÷（每只鸡兔脚数之和）-（两次总脚数之差）÷（每只鸡兔脚数之差）〕÷2=兔数。

例如，“有一些鸡和兔，共有脚44只，若将鸡数与兔数互换，则共有脚52只。鸡兔各是多少只？”

解 〔（52+44）÷（4+2）+（52-44）÷（4-2）〕÷2

=20÷2=10（只）……………………………鸡

〔（52+44）÷（4+2）-（52-44）÷（4-2）〕÷2

=12÷2=6（只）…………………………兔（答略）

【植树问题公式】

（1）不封闭线路的植树问题：

间隔数+1=棵数；（两端植树）

路长÷间隔长+1=棵数。

或 间隔数-1=棵数；（两端不植）

路长÷间隔长-1=棵数；

路长÷间隔数=每个间隔长；

每个间隔长×间隔数=路长。

（2）封闭线路的植树问题：

路长÷间隔数=棵数；

路长÷间隔数=路长÷棵数

=每个间隔长；

每个间隔长×间隔数=每个间隔长×棵数=路长。

（3）平面植树问题：

占地总面积÷每棵占地面积=棵数

【求分率、百分率问题的公式】

比较数÷标准数=比较数的对应分（百分）率；

增长数÷标准数=增长率；

减少数÷标准数=减少率。

或者是

两数差÷较小数=多几（百）分之几（增）；

两数差÷较大数=少几（百）分之几（减）。

【增减分（百分）率互求公式】

增长率÷（1+增长率）=减少率；

减少率÷（1-减少率）=增长率。

比甲丘面积少几分之几？”

解 这是根据增长率求减少率的应用题。按公式，可解答为

百分之几？”

解 这是由减少率求增长率的应用题，依据公式，可解答为

【求比较数应用题公式】

标准数×分（百分）率=与分率对应的比较数；

标准数×增长率=增长数；

标准数×减少率=减少数；

标准数×（两分率之和）=两个数之和；

标准数×（两分率之差）=两个数之差。

【求标准数应用题公式】

比较数÷与比较数对应的分（百分）率=标准数；

增长数÷增长率=标准数；

减少数÷减少率=标准数；

两数和÷两率和=标准数；

两数差÷两率差=标准数；

【方阵问题公式】

（1）实心方阵：（外层每边人数）2=总人数。

（2）空心方阵：

（最外层每边人数）2-（最外层每边人数-2×层数）2=中空方阵的人数。

或者是

（最外层每边人数-层数）×层数×4=中空方阵的人数。

总人数÷4÷层数+层数=外层每边人数。

例如，有一个3层的中空方阵，最外层有10人，问全阵有多少人？

解一 先看作实心方阵，则总人数有

10×10=100（人）

再算空心部分的方阵人数。从外往里，每进一层，每边人数少2，则进到第四层，每边人数是

10-2×3=4（人）

所以，空心部分方阵人数有

4×4=16（人）

故这个空心方阵的人数是

100-16=84（人）

解二 直接运用公式。根据空心方阵总人数公式得

（10-3）×3×4=84（人）

【利率问题公式】利率问题的类型较多，现就常见的单利、复利问题，介绍其计算公式如下。

（1）单利问题：

本金×利率×时期=利息；

本金×（1+利率×时期）=本利和；

本利和÷（1+利率×时期）=本金。

年利率÷12=月利率；

月利率×12=年利率。

（2）复利问题：

本金×（1+利率）存期期数=本利和。

例如，“某人存款2400元，存期3年，月利率为10．2‰（即月利1分零2毫），三年到期后，本利和共是多少元？”

解 （1）用月利率求。

3年=12月×3=36个月

2400×（1+10．2％×36）

=2400×1．3672

=3281．28（元）

（2）用年利率求。

先把月利率变成年利率：

10．2‰×12=12．24％

再求本利和：

2400×（1+12．24％×3）

=2400×1．3672

=3281．28（元）（答略）

⑵ 人教版小学六年级数学上册概念都是有哪些

人教版小学六年级数学上册概念如下：

第一单元位置：

1、找位置：先列后行。格式为：（列，行）。例如：（a，b）。

2、位置的表示方法：两边小括号，中间是逗号，先写列，再写行。

3、平移方法：左右平移，列变行不变；上下平移，行变列不变。

第二单元分数乘法：

1、分数乘整数的意义和整数乘法的意义相同：就是求几个相同加数的和的简便运算。

2、分数乘整数的计算法则：分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变。

3、整数乘分数：分数乘以整数，可以看作是求几个分数相加的和是多少。整数乘以分数，可以看作是求整数的几分之几是多少。

4、分数乘分数的计算法则：分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。

5、乘积是1的两个数叫互为倒数。

6、求一个数（0除外）的倒数的方法：把这个分数的分子、分母调换位置。1的倒数是1。0没有倒数。真分数的倒数大于1；假分数的倒数小于或等于1；带分数的倒数小于1。

7、一个数（0除外）乘以一个真分数，所得的积小于它本身。

8、一个数（0除外）乘以一个假分数，所得的积等于或大于它本身。

9、一个数（0除外）乘以一个带分数，所得的积大于它本身。

第三单元分数除法：

1、分数除法的意义：分数除法的意义与整数除法的意义相同，都是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。

2、分数除以整数（0除外），等于分数乘这个整数的倒数。

3、整数除以分数等于整数乘以这个分数的倒数。

4、分数除法的计算法则：甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数。

5、两个数相除又叫做两个数的比。

6、“：”是比号，读做“比”。比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。

7、比同除法比较：比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商。

8、根据分数与除法的关系，比的前项相当于分子，比的后项相当于分母，比值相当于分数的值。

9、比的基本性质：比的前项和后项同时乘上或者同时除以相同的数（0除外），比值不变。

10、在工农业生产中和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配。这种方法通常叫做按比例分配。

11、一个数（0除外）除以一个真分数，所得的商大于它本身。

12、一个数（0除外）除以一个假分数，所得的商小于或等于它本身。

13、一个数（0除外）除以一个带分数，所得的商小于它本身。

第四单元圆

1、圆的定义：平面上的一种曲线图形。

2、将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。圆心一般用字母O表示。它到圆上任意一点的距离都相等。

3、半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。半径一般用字母r表示。把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。

4、圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。

5、直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。直径一般用字母d表示。

6、在同一个圆内，所有的半径都相等，所有的直径都相等。

7、在同一个圆内，有无数条半径，有无数条直径。

8、在同一个圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的一半。

9、圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，用“C”表示。

10、圆的周长总是直径的3倍多一些，这个比值是一个固定的数。我们把圆的周长和直径的比值叫做圆周率，用字母“π”表示。圆周率是一个无限不循环小数。在计算时，取π≈3.14。

11、圆的周长公式：C=πd或C=2πr

12、圆的面积：圆所占面积的大小叫圆的面积。

13、在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。

14、在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。

15、一个环形，外圆的半径是R，内圆的半径是r，它的面积是S=πR²－πr²或S=π（R²－r²）。

16、环形的周长＝外圆周长＋内圆周长。

17、半圆的周长等于圆的周长的一半加直径。半圆的周长公式：C＝πd÷2＋d或C＝πr＋2r

18、在同一个圆里，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。而面积扩大或缩小以上倍数的平方倍。

19、两个圆的半径比等于直径比等于周长比，而面积比等于以上比的平方。

20、当一个圆的半径增加a厘米时，它的周长就增加2πa厘米；

21、当一个圆的直径增加a厘米时，它的周长就增加πa厘米。

22、在同一圆中，圆心角占圆周角的几分之几，它所在扇形面积就占圆面积的几分之几；所对的弧就占圆周长的几分之几。

23、当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆的面积最大，长方形的面积最小。

24、轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。

25、只有1一条对称轴的图形有：角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆。

26、只有2条对称轴的图形是：长方形。

27、只有3条对称轴的图形是：等边三角形。

28、只有4条对称轴的图形是：正方形。

29、有无数条对称轴的图形是：圆、圆环。

30、直径所在的直线是圆的对称轴。

第五单元百分数

1、百分数的定义：表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫做百分数。百分数也叫做百分率或百分比。

2、百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几。百分数表示两个数之间的比率关系，不表示具体的数量，无单位名称。

3、百分数通常不写成分数形式，而在原来分子后面加上“％”来表示。分子部分可为小数、整数，可以大于100，小于100或等于100。

4、小数与百分数互化的方法：把小数化成百分数，只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号；把百分数化成小数，只要把百分号去掉，同时把数点向左移动两位。

5、百分数与分数互化的方法：把分数化成百分数，通常先把分数化成小数（除不尽的保留三位小数），再把小数化成百分数。

6、百分数化成分数，先把百分数改写成分数，能约分的要约成最简分数。

7、百分率公式：

合格率=合格人数÷总人数100%发芽率=发芽数量÷总数量100%

出勤率=出勤人数÷总人数100%

8、应纳税额：缴纳的税款叫应纳税额。

9、应纳税额的计算：应纳税额＝各种收入×税率。

10、本金：存入银行的钱叫做本金。

11、利息：取款时银行多支付的钱叫做利息。

12、利率：利息与本金的比值叫做利率。

13、国债利息的计算公式：利息＝本金×利率×时间。

13、本息：本金与利息的总和叫做本息。

单位换算：

1、长度单位换算

1千米=1000米1米=10分米1分米=10厘米1米=100厘米1厘米=10毫米

2、面积单位换算

1平方千米=100公顷1公顷10000平方米1平方米=100平方分米

1平方分米=100平方厘米

3、体（容）积单位换算

1立方米=1000立方分米1立方分米=1升1立方分米=1000立方厘米

1立方厘米=1毫升

4、重量单位换算：1吨=1000千克1千克=1000克

运算定律：

1、加法交换律：两数相加交换加数的位置，和不变。a＋b=b＋a

2、加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，再同第三个数相加，和不变。如：a＋b＋c=a＋c＋b=a＋（b＋c）

3、乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积不变。ab=ba

4、乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，再和第三个数相乘，它们的积不变。如：a×b×c=a×c×b=a×（b×c）

5、乘法分配律：两个数的和同一个数相乘，可以把两个加数分别同这个数相乘，再把两个积相加，结果不变。如：（ab）×c=acbc

6、加、减法性质：一个数连续减去几个数，可以改写成减去这几个数的和。如：a-b-c=a-（b+c）

7、乘、除法性质：一个数连续除以几个数，可以改写成乘以这几个数的积。a÷b÷c=a÷（b×c）

(2)人教版小学六年级数学上册知识点扩展阅读：

小学六年级数学学习方法

1、抓住课堂

平日学习最重要的是课堂学习，听课要认真，思维要跟着老师，总结老师所讲的数学思想、数学方法。

2、高质量完成作业

不仅要高速度，还要高正确率。写作业时，如果同一类型的题重复练习，就要多注意速度和准确率，并且在每做完一次要对此类题目进行思考总结，进一步提升自己，解题的规律、技巧等。

3、勤思考，多提问

对于老师给出的规律、定理，不仅要知其然还要知其所以然，对于老师的讲解，课本的内容，有疑问应尽管提出，清除学习隐患。

4、总结比较，理清思绪

要进行知识点总结比较。每学完一个章节都应要本章内容在脑中过一遍，对于相似易混淆的知识点应分项归纳比较，将其区分开来。

要对题目进行比较。平时作业或者考试的错题，选择性地记下来，并用在一旁记下注意事项，经常翻看，这对数学学习有极大的帮助。

5、有选择地做课外练习

课余时间并不充足，因此在做课外练习时要少而精，多反思

⑶ 小学六年级上册人教版数学重要知识点

六年级上册数学知识点
第一单元 位置
1、什么是数对？
——数对：由两个数组成，中间用逗号隔开，用括号括起来。括号里面的数由左至右为列数和行数，即“先列后行”。
作用：确定一个点的位置。经度和纬度就是这个原理。
例：在方格图（平面直角坐标系）中用数对（3，5）表示（第三列，第五行）。
注：（1）在平面直角坐标系中X轴上的坐标表示列，y轴上的坐标表示行。如：数对（3,2）表示第三列，第二行。
（2）数对（X，5）的行号不变，表示一条横线，（5，Y）的列号不变，表示一条竖线。（有一个数不确定，不能确定一个点）
（ 列 ， 行 ）
↓ ↓
竖排叫列 横排叫行
（从左往右看）（从下往上看）
（从前往后看）
2、图形左右平移行数不变；图形上下平移列数不变。
3、两点间的距离与基准点（0，0）的选择无关，基准点不同导致数对不同，两点间但距离不变。
第二单元 分数乘法
（一）分数乘法意义：
1、分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数的和的简便运算。
注：“分数乘整数”指的是第二个因数必须是整数，不能是分数。
例如： ×7表示: 求7个 的和是多少？ 或表示： 的7倍是多少？
2、一个数乘分数的意义就是求一个数的几分之几是多少。
注：“一个数乘分数”指的是第二个因数必须是分数，不能是整数。（第一个因数是什么都可以）
例如： × 表示: 求 的 是多少？
9 × 表示: 求9的 是多少？
A × 表示: 求a的 是多少？
（二）分数乘法计算法则：
1、分数乘整数的运算法则是：分子与整数相乘，分母不变。
注：（1）为了计算简便能约分的可先约分再计算。（整数和分母约分）
（2）约分是用整数和下面的分母约掉最大公因数。（整数千万不能与分母相乘，计算结果必须是最简分数）
2、分数乘分数的运算法则是：用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。（分子乘分子，分母乘分母）
注：（1）如果分数乘法算式中含有带分数，要先把带分数化成假分数再计算。
（2）分数化简的方法是：分子、分母同时除以它们的最大公因数。
（3）在乘的过程中约分，是把分子、分母中，两个可以约分的数先划去，再分别在它们的上、下方写出约分后的数。（约分后分子和分母必须不再含有公因数，这样计算后的结果才是最简单分数）
（4）分数的基本性质：分子、分母同时乘或者除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变。
（三）积与因数的关系：
一个数（0除外）乘大于1的数，积大于这个数。a×b=c,当b >1时，c>a.
一个数（0除外）乘小于1的数，积小于这个数。a×b=c,当b <1时，c<a (b≠0).
一个数（0除外）乘等于1的数，积等于这个数。a×b=c,当b =1时，c=a .
注：在进行因数与积的大小比较时，要注意因数为0时的特殊情况。
附：形如 的分数可折成（ ）×
（四）分数乘法混合运算
1、分数乘法混合运算顺序与整数相同，先乘、除后加、减，有括号的先算括号里面的，再算括号外面的。
2、整数乘法运算定律对分数乘法同样适用；运算定律可以使一些计算简便。
乘法交换律：a×b=b×a
乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)
乘法分配律：a×(b±c)=a×b±a×c
（五）倒数的意义：乘积为1的两个数互为倒数。
1、倒数是两个数的关系，它们互相依存，不能单独存在。单独一个数不能称为倒数。（必须说清谁是谁的倒数）
2、判断两个数是否互为倒数的唯一标准是：两数相乘的积是否为“1”。
例如：a×b=1则a、b互为倒数。
3、求倒数的方法：
①求分数的倒数：交换分子、分母的位置。
②求整数的倒数：整数分之1。
③求带分数的倒数：先化成假分数，再求倒数。
④求小数的倒数：先化成分数再求倒数。
4、1的倒数是它本身，因为1×1=1
0没有倒数，因为任何数乘0积都是0，且0不能作分母。
5、任意数a(a≠0)，它的倒数为 ；非零整数a的倒数为 ；分数 的倒数是 。
6、真分数的倒数是假分数，真分数的倒数大于1，也大于它本身。
假分数的倒数小于或等于1。
带分数的倒数小于1。
（六）分数乘法应用题 ——用分数乘法解决问题
1、求一个数的几分之几是多少？（用乘法）
“1”× =
例如：求25的 是多少？ 列式：25× =15
甲数的 等于乙数，已知甲数是25，求乙数是多少？ 列式：25× =15
注：已知单位“1”的量，求单位“1”的量的几分之几是多少，用单位“1”的量与分数相乘。
2、（ 什么）是（什么 ）的 。
（ ）= ( “1” ) ×
例1: 已知甲数是乙数的 ，乙数是25，求甲数是多少？
甲数=乙数× 即25× =15
注:（1）“是”“的”字中间的量“乙数”是 的单位“1”的量，即 是把乙数看作单位“1”，把乙数平均分成5份，甲数是其中的3份。
（2）“是”“占”“比”这三个字都相当于“=”号，“的”字相当于“×”。
（3）单位“1”的量×分率=分率对应的量
例2：甲数比乙数多（少） ，乙数是25，求甲数是多少？
甲数=乙数±乙数× 即25±25× =25×（1± ）＝40（或10）
3、巧找单位“1”的量：在含有分数（分率）的语句中，分率前面的量就是单位“1”对应的量，或者“占”“是”“比”字后面的量是单位“1”。
4、什么是速度？
——速度是单位时间内行驶的路程。速度=路程÷时间 时间=路程÷速度 路程=速度×时间
——单位时间指的是1小时1分钟1秒等这样的大小为1的时间单位，每分钟、每小时、每秒钟等。
5、求甲比乙多（少）几分之几？
多：（甲-乙）÷乙
少：（乙-甲）÷乙
第三单元 分数除法
一、分数除法的意义：分数除法是分数乘法的逆运算，已知两个数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。
二、分数除法计算法则：除以一个数（0除外），等于乘上这个数的倒数。
1、被除数÷除数=被除数×除数的倒数。例 ÷3= × = 3÷ =3× =5
2、除法转化成乘法时，被除数一定不能变，“÷”变成“×”，除数变成它的倒数。
3、分数除法算式中出现小数、带分数时要先化成分数、假分数再计算。
4、被除数与商的变化规律：
①除以大于1的数，商小于被除数：a÷b=c 当b>1时，c<a (a≠0)
②除以小于1的数，商大于被除数：a÷b=c 当b<1时，c>a (a≠0 b≠0)
③除以等于1的数，商等于被除数：a÷b=c 当b=1时，c=a
三、分数除法混合运算
1、混合运算用梯等式计算，等号写在第一个数字的左下角。
2、运算顺序：
①连除：属同级运算，按照从左往右的顺序进行计算；或者先把所有除法转化成乘法再计算；或者依据“除以几个数，等于乘上这几个数的积”的简便方法计算。加、减法为一级运算，乘、除法为二级运算。
②混合运算：没有括号的先乘、除后加、减，有括号的先算括号里面，再算括号外面。
注：（a±b）÷c=a÷c±b÷c
四、比：两个数相除也叫两个数的比
1、比式中，比号（∶）前面的数叫前项，比号后面的项叫做后项，比号相当于除号，比的前项除以后项的商叫做比值。
注：连比如：3：4：5读作：3比4比5
2、比表示的是两个数的关系，可以用分数表示，写成分数的形式，读作几比几。
例：12∶20= ＝12÷20= =0.6 12∶20读作：12比20
注：区分比和比值：比值是一个数，通常用分数表示，也可以是整数、小数。
比是一个式子，表示两个数的关系，可以写成比，也可以写成分数的形式。
3、比的基本性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（0除外），比值不变。
3、化简比：化简之后结果还是一个比，不是一个数。
（1）、 用比的前项和后项同时除以它们的最大公约数。
（2）、 两个分数的比，用前项后项同时乘分母的最小公倍数，再按化简整数比的方法来化简。也可以求出比值再写成比的形式。
（3）、 两个小数的比，向右移动小数点的位置，也是先化成整数比。
4、求比值：把比号写成除号再计算，结果是一个数（或分数），相当于商，不是比。
5、比和除法、分数的区别：
除法 被除数 除号（÷） 除数（不能为0） 商不变性质 除法是一种运算
分数 分子 分数线（——） 分母（不能为0） 分数的基本性质 分数是一个数
比 前项 比号（∶） 后项（不能为0） 比的基本性质 比表示两个数的关系
附：商不变性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。
分数的基本性质：分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。
五、分数除法和比的应用
1、已知单位“1”的量用乘法。例：甲是乙的 ，乙是25，求甲是多少？即：甲=乙× （15× =9）
2、未知单位“1”的量用除法。例: 甲是乙的 ，甲是15，求乙是多少？即：甲=乙× （15÷ =25）（建议列方程答）
3、分数应用题基本数量关系（把分数看成比）
（1）甲是乙的几分之几？
甲＝乙×几分之几 （例：甲是15的 ，求甲是多少？15× ＝9）
乙＝甲÷几分之几 （例：9是乙的 ，求乙是多少？9÷ ＝15）
几分之几＝甲÷乙 （例：9是15的几分之几？9÷15＝ ）（“是”字相当“÷”号，乙是单位“1”）
（2）甲比乙多（少）几分之几？
A 差÷乙= （“比”字后面的量是单位“1”的量）（例：9比15少几分之几？（15-9）÷15＝ ＝ ＝ ）
B 多几分之几是： –1 （例： 15比9少几分之几？15÷9＝ -1＝ –1＝ ）
C 少几分之几是：1– （例：9比15少几分之几？1-9÷15＝1– ＝1– ＝ ）
D 甲=乙±差=乙±乙× =乙±乙× =乙（1± ） （例：甲比15少 ，求甲是多少？15–15× ＝15×（1– ）＝9（多是“+”少是“–”）
E 乙=甲÷(1± )（例：9比乙少 ，求乙是多少？9÷（1- ）＝9 ÷ ＝15）（多是“+”少是“–”）
（例：15比乙多 ，求乙是多少？15÷（1+ ）＝15 ÷ ＝9）（多是“+”少是“–”）
4、按比例分配：把一个量按一定的比分配的方法叫做按比例分配。
例如：已知甲乙的和是56，甲、乙的比3∶5，求甲、乙分别是多少？
方法一：56÷（3+5）＝7 甲：3×7＝21 乙：5×7＝35
方法二：甲：56× ＝21 乙：56× ＝35
例如：已知甲是21，甲、乙的比3∶5，求乙是多少？
方法一：21÷3＝7 乙：5×7＝35
方法二：甲乙的和21÷ ＝56 乙：56× ＝35
方法二：甲÷乙＝ 乙＝甲÷ ＝21÷ ＝35
5、画线段图：
（1）找出单位“1”的量，先画出单位“1”，标出已知和未知。
（2）分析数量关系。
（3）找等量关系。
（4）列方程。
注：两个量的关系画两条线段图，部分和整体的关系画一条线段图。
第四单元 圆
一、.圆的特征
1、圆是平面内封闭曲线围成的平面图形，.
2、圆的特征：外形美观，易滚动。
3、圆心o：圆中心的点叫做圆心．圆心一般用字母O表示．圆多次对折之后，折痕的相交于圆的中心即圆心。圆心确定圆的位置。
半径r：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。在同一个圆里，有无数条半径，且所有的半径都相等。半径确定圆的大小。
直径d: 通过圆心且两端都在圆上的线段叫做直径。在同一个圆里，有无数条直径，且所有的直径都相等。直径是圆内最长的线段。
同圆或等圆内直径是半径的2倍：d=2r 或 r=d÷2= d=
4、等圆：半径相等的圆叫做同心圆，等圆通过平移可以完全重合。
同心圆：圆心重合、半径不等的两个圆叫做同心圆。
5、圆是轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形是轴对称图形。折痕所在的直线叫做对称轴。
有一条对称轴的图形：半圆、扇形、等腰梯形、等腰三角形、角
有二条对称轴的图形：长方形
有三条对称轴的图形：等边三角形
有四条对称轴的图形：正方形
有无条对称轴的图形：圆，圆环
6、画圆
（1）圆规两脚间的距离是圆的半径。
（2）画圆步骤：定半径、定圆心、旋转一周。
二、圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，周长用字母C表示。
1、圆的周长总是直径的三倍多一些。
2、圆周率：圆的周长与直径的比值是一个固定值，叫做圆周率，用字母π表示。
即：圆周率π= =周长÷直径≈3.14
所以,圆的周长(c)=直径(d)×圆周率(π) ——周长公式： c=πd, c=2πr
注：圆周率π是一个无限不循环小数，3.14是近似值。
3、周长的变化的规律：半径扩大多少倍直径也扩大多少倍，周长扩大的倍数与半径、直径扩大的倍数相同。
如果r1∶r2∶r3=d1∶d2∶d3=c1∶c2∶c3
4、半圆周长=圆周长一半+直径= ×2πr=πr+d
三、圆的面积s
1、圆面积公式的推导
如图把一个圆沿直径等分成若干份，剪开拼成长方形，份数越多拼成的图像越接近长方形。

圆的半径 = 长方形的宽
圆的周长的一半 = 长方形的长
长方形面积 = 长 ×宽
所以：圆的面积 = 长方形的面积 = 长 ×宽 = 圆的周长的一半（πr）×圆的半径（r）
S圆 = πr × r
S圆 = πr×r = πr2
2、几种图形，在面积相等的情况下，圆的周长最短，而长方形的周长最长；反之，在周长相等的情况下，圆的面积则最大，而长方形的面积则最小。
周长相同时，圆面积最大，利用这一特点，篮子、盘子做成圆形。
3、圆面积的变化的规律：半径扩大多少倍直径、周长也同时扩大多少倍，圆面积扩大的倍数是半径、直径扩大的倍数的平方倍。
如果: r1∶r2∶r3=d1∶d2∶d3=c1∶c2∶c3=2∶3∶4
则：S1∶S2∶S3=4∶9∶16
4、环形面积 = 大圆 – 小圆=πr大2 - πr小2=π（r大2 - r小2）
扇形面积 = πr2× （n表示扇形圆心角的度数）
5、跑道：每条跑道的周长等于两半圆跑道合成的圆的周长加上两条直跑道的和。因为两条直跑道长度相等，所以，起跑线不同，相邻两条跑道起跑线也不同，间隔的距离是：2×π×跑道宽度。
注：一个圆的半径增加a厘米，周长就增加2πa厘米
一个圆的直径增加b厘米，周长就增加πb 厘米
6、任意一个正方形的内切圆即最大圆的直径是正方形的边长，它们的面积比是4∶π
7、常用数据
π=3.14 2π=6.28 3π=9.42 4π=12.56 5π=15.7
第五单元、百分数
一、百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几。
注：百分数是专门用来表示一种特殊的倍比关系的，表示两个数的比，所以，百分数又叫百分比或百分率，百分数不能带单位。
1、百分数和分数的区别和联系：
（1）联系：都可以用来表示两个量的倍比关系。
（2）区别：意义不同：百分数只表示倍比关系，不表示具体数量，所以不能带单位。分数不仅表示倍比关系，还能带单位表示具体数量。
百分数的分子可以是小数，分数的分子只以是整数。
注：百分数在生活中应用广泛，所涉及问题基本和分数问题相同，分母是100的分数并不是百分数，必须把分母写成“%”才是百分数，所以“分母是100的分数就是百分数”这句话是错误的。“%”的两个0要小写，不要与百分数前面的数混淆。一般来讲，出勤率、成活率、合格率、正确率能达到100%，出米率、出油率达不到100%，完成率、增长了百分之几等可以超过100%。一般出粉率在70、80%，出油率在30、40%。
2、小数、分数、百分数之间的互化
（1）百分数化小数：小数点向左移动两位，去掉“%”。
（2）小数化百分数：小数点向右移动两位，添上“%”。
（3）百分数化分数：先把百分数写成分母是100的分数，然后再化简成最简分数。
（4）分数化百分数：分子除以分母得到小数，（除不尽的保留三位小数）然后化成百分数。
（5）小数 化 分数：把小数成分母是10、100、1000等的分数再化简。
（6）分数 化 小数：分子除以分母。
二、百分数应用题
1、 求常见的百分率 如：达标率、及格率、成活率、发芽率、出勤率等求百分率就是求一个数是另一个数的百分之几
2、 求一个数比另一个数多（或少）百分之几，实际生活中，人们常用增加了百分之几、减少了百分之几、节约了百分之几等来表示增加、或减少的幅度。
求甲比乙多百分之几 （甲-乙）÷乙
求乙比甲少百分之几 （甲-乙）÷甲
3、 求一个数的百分之几是多少 一个数（单位“1”） ×百分率
4、 已知一个数的百分之几是多少，求这个数 部分量÷百分率=一个数（单位“1”）
5、 折扣 折扣、打折的意义：几折就是十分之几也就是百分之几十

折扣 成数 几分之几 百分之几 小数 通用
八折 八成 十分之八 百分之八十 0.8
八五折 八成五 十分之八点五 百分之八十五 0.85
五折 五成 十分之五 百分之五十 0.5 半价
6、 纳税 缴纳的税款叫做应纳税额。
（应纳税额）÷（总收入）=（税率）
（应纳税额）=（总收入）×（税率）
7、 利率
（1）存入银行的钱叫做本金。
（2）取款时银行多支付的钱叫做利息。
（3）利息与本金的比值叫做利率。
利息=本金×利率×时间
税后利息=利息-利息的应纳税额=利息-利息×5%
注：国债和教育储蓄的利息不纳税
8、百分数应用题型分类
（1）求甲是乙的百分之几——（甲÷乙）×100% = ×100% = 百分之几
（2）求甲比乙多(少)百分之几—— ×100% = ×100%
例
① 甲是50，乙是40，甲是乙的百分之几？（50是40的百分之几？）50÷40=125%
② 甲是50，乙是40，乙是甲的百分之几？（40是50的百分之几？）40÷50=80%
③ 乙是40，甲是乙的125%，甲数是多少？（40的125%是多少？）40×125%=50
④ 甲是50，乙是甲的80%，乙数是多少？（50的80%是多少？）50×80%=40
⑤ 乙是40，乙是甲的80%，甲数是多少？（一个数的80%是40，这个数是多少？）40÷80%=50
⑥ 甲是50，甲是乙的125%，乙数是多少？（一个数的125%是50，这个数是多少？）50÷125%=40
⑦ 甲是50，乙是40，甲比乙多百分之几？（50比40多百分之几？）(50-40)÷40×100%=25%
⑧ 甲是50，乙是40，乙比甲少百分之几？（40比50少百分之几？）(50-40)÷50×100%=20%
⑨ 甲比乙多25%，多10，乙是多少？10÷25%=40
⑩ 甲比乙多25%，多10，甲是多少？10÷25%+10=50
⑪ 乙比甲少20%，少10，甲是多少？10÷20%=50
⑫ 乙比甲少20%，少10，乙是多少？10÷20%-10=40
⑬ 乙是40，甲比乙多25%，甲数是多少？（什么数比40多25%？）40×（1+25%）=50
⑭ 甲是50，乙比甲少20%，乙数是多少？（什么数比50多25%？）50×（1-20%）=40
⑮ 乙是40，比甲少20%，甲数是多少？（40比什么数少20%？）40÷（1-20%）=50
⑯ 甲是50，比乙多25%，乙数是多少？（50比什么数多25%？）40÷（1+25%）=40
第六单元、统计
1、 扇形统计图的意义：用整个圆的面积表示总数，用圆内各个扇形面积表示各部分数量同总数之间关系，也就是各部分数量占总数的百分比，因此也叫百分比图。
2、 常用统计图的优点：
（1）、条形统计图直观显示每个数量的多少。
（2）、折线统计图不仅直观显示数量的增减变化，还可清晰看出各个数量的多少。
（3）、扇形统计图直观显示部分和总量的关系。
第七单元、数学广角
一、研究中国古代的鸡兔同笼问题。
1、 用表格方式解决有局限性，数目必须小，例：
头数 鸡（只）兔（只） 腿数
35 1 34
35 2 33
35 3 32
……
（逐一列表法、腿数少，小幅度跳跃；腿数多，大幅度跳跃。跳跃逐一相结合、取中列表）
2、 用假设法解决
（1） 假如都是兔
（2） 假如都是鸡
（3） 假如它们各抬起一条腿
（4） 假如兔子抬起两条前腿
3、 用代数方法解（一般规律）
注释：这个问题，是我国古代著名趣题之一。大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述的：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚。求笼中各有几只鸡和兔？
二、和尚分馒头
100个和尚吃100个馒头，大和尚一人吃3个，小和尚三人吃一个。大小和尚各多少人？
国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题：
一百馒头一百僧，
大僧三个更无争，
小僧三人分一个，
大小和尚各几丁？"
如果译成白话文，其意思是：有100个和尚分100只馒头，正好分完。如果大和尚一人分3只，小和尚3人分一只，试问大、小和尚各有几人？
方法一，用方程解：
解：设大和尚有x人，则小和尚有(100－x)人，根据题意列得方程：
3x + (100－x)=100
x＝25
100－25＝75人
方法二，鸡兔同笼法：
(1)假设100人全是大和尚，应吃馒头多少个？
3×100=300(个)．
(2)这样多吃了几个呢？
300－100=200(个)．
(3)为什么多吃了200个呢？这是因为把小和尚当成大和尚。那么把小和尚当成大和尚时，每个小和尚多算了几个馒头？
3－ = （个）
(4)每个小和尚多算了8/3个馒头，一共多算了200个，所以小和尚有：
小和尚：200÷ ＝75（人）
大和尚：100－75＝25（人）
方法三，分组法：
由于大和尚一人分3只馒头，小和尚3人分一只馒头。我们可以把3个小和尚与1个大和尚编为一组，这样每组4个和尚刚好分4个馒头，那么100个和尚总共分为100÷（3+1）=25组，因为每组有1个大和尚，所以有25个大和尚；又因为每组有3个小和尚，所以有25×3＝75个小和尚。
这是《直指算法统宗》里的解法，原话是："置僧一百为实，以三一并得四为法除之，得大僧二十五个。"所谓"实"便是"被除数"，"法"便是"除数"。列式就是：
100÷（3+1）=25（组）
大和尚：25×1=25（人）
小和尚：100-25=75（人）或25×3=75（人）
我国古代劳动人民的智慧由此可见一斑。
三、整数、分数、百分数应用题结构类型
（一）求甲是乙的几倍（或几分之几或百分之几）的应用题。
解法：甲数除以乙数
例：校园里有杨树40棵，柳树有50棵，杨树的棵树占柳树的百分之几？（或几分之几？）
（二）求甲数的几倍（或几分之几或百分之几）是多少的应用题。
解答分数应用题，首先要确定单位“1”，在单位“1”确定以后，一个具体数量总与一个具体分数（分率）相对应，这种关系叫“量率对应”，这是解答分数应用题的关键。
求一个数的几倍（几分之几或百分之几）是多少用乘法，单位“1”×分率=对应数量
例：六年级有学生180人，五年级的学生人数是六年级人数的56 。五年级有学生多少人？
180×56 =150
（三）已知甲数的几倍（或几分之几或百分之几）是多少，求甲数（即求标准量或单位“1”）的应用题。
解法：对应数量÷对应分率=单位“1”
例：育红小学六年级男生有120人，占参加兴趣活动小组人数的35 . 六年级参加兴趣活动小组人数共有学生多少人？
120÷35 =200（人）

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