① 初中奥数题10题及答案
1`已知:x=[1991^(1/n)-1991^(-1/n)]/2,n是自然数
求 [x-(1+x^2)^(1/2)]^n 的值
解:结果是 1991^(n-1)
x=[1991^(1/n)-1991^(-1/n)]/2 分母有理化
对其化简可得 x=[1990*1991^(1/n)]/1991
再设y=1991^(1/n) 则1991^(-1/n)=1/y
则可变为 (y^2+1)/2y 将其代入下式
[x-(1+x^2)^(1/2)]^n
可得[(2xy+y^2+1)/2y]^n
再将y=1991^(1/n) x=[1990*1991^(1/n)]/1991
2`证明任意7个连续自然数中，必有一个与其它6个都互质
自然数都大于1，不能是1-7吧！
相邻的自然数(>1)都互质；差为2的两个自然数唯一的非1正公约数只能是2，或者没有；差为3的两个自然数唯一的非1正公约数只能是3，或者没有；差为4的两个自然数的非1正公约数只能是2，4，或者没有；差为5的两个自然数的唯一非1正公约数只能是5，或者没有；差为6的两个自然数的唯一非1正公约数只能是2，3，6，或者没有.
若必有一个与其它6个都互质，这个数定是奇数。
n 到 n+6七个数
若n为奇数，则n+4,n+2中，必定有一个不能被3整除。
a.若n+4不能被3整除时，它与n+3,n+5,相邻互质,与n，n+2,n+6奇数相差2，4，质因子只可能是2，因为是奇数，互质，与n+1,有因子3不可能。
n+4与其它6个都互质。
b.若n+2不能被3整除时，它与n+1,n+3,相邻互质，与n，n+4,n+6奇数相差2，4，质因子只可能是2，因为是奇数，互质，与n+5,有因子3不可能。
n+2与其它6个都互质
故以奇数开始的七个连续自然数，必有一个与其它6个都互质
在以上证明中，把+改为-，得：
n 到 n-6七个数
若n为奇数，则n-4,n-2中，必定有一个不能被3整除。
c.若n-4不能被3整除时，它与n-3,n-5,相邻互质,与n，n-2,n-6奇数相差2，4，质因子只可能是2，因为是奇数，互质，与n-1,有因子3不可能。
n-4与其它6个都互质。
d.若n-2不能被3整除时，它与n-1,n-3,相邻互质，与n，n-4,n-6奇数相差2，4，质因子只可能是2，因为是奇数，互质，与n-5,有因子3不可能。
n-2与其它6个都互质
故以奇数结尾的七个连续自然数，必有一个与其它6个都互质
由于7个连续自然数必定以奇数开始或者以奇数结尾，从a、b、c、d的证明中，可知任意7个连续自然数(>1)中，必有一个与其它6个都互质
3`三角形ABC,AB=2根2,AC=根2,BC=2,点P 是BC边上任一点,则
PA^2 和PB*PC 的大小关系是什么
余弦定理：
cosA=[(2√2)^2+(√2)^2-2^2]/(2*2√2*√2)=1/2
A=30°
取BC中点N
BP*PC<=BN*NC=BC^2/4
过A做AM垂直AB交BC延长线M，过A做BC垂线AQ垂足Q
则有：
AP>AQ,
AP^2>AQ^2=BQ*QM>BC^2/4>=BP*PC
4`正方形OPQR内接于三角形ABC,已知三角形AOR,BOP,CRQ面积分别是 1,3,1.则正方形OPQR的面积是多少?
图形很简单,就是普通的三角形,和内接正方形
设正方形的边长为a，三角形AOR的OR边上的高为h，
根据三角形的面积公式可知
h=2/a,BP=6/a，QC=2/a，
三角形ABC的BC边上的高H=a+h=a+2/a，
BC=6/a+a+2/a；
将三角形ABC的面积分解成四部分（三角形AOR,BOP,CRQ和正方形OPQR）
列方程得
1/2（6/a+a+2/a)(a+2/a)=3+1+1+a^2
解得a^2=4,即正方形OPQR的面积是4。
若A,C,D 是整数,B是正整数,且 A+B=C,B+C=D,C+D=A,那么
A+B+C+D 的最大值是多少?
因为a+b=c, b+c=d, c+d=a,
把3式加起来可以得a+2b+2c+d=c+d+a, 得到c=-2b,
带入其它等式，得到a=-3b, d=-b, 所以a+b+c+d=-5b
b>0的整数，所以a+b+c+d<0, 所以当b=1最小时，a+b+c+d=-5最大
5`若1*2*3*...*100=M*12^n,其中M是自然数,n是使得等式成立的最大自然数,
则M, (1)是2的倍数吗(2)是3的倍数吗 (3)是4的倍数吗
100/3=33 100/9=11 100/27=4 则n=33+11+4=48
100/2=50,100/4=25 100/8=12 100/16=6 100/32=3 100/64=1
50+25+12+6+3+1=99
刚原式=n*2^99*3^48=8n*12^48 8n=m
故,m是2\4的倍数,不是3的倍数.
6`已知一个凸四边形的各边长都是整数,并且任何一边的长都能整除其余三边长度之和,求证:这个四边形必有两边相等.
证：设凸四边形各边的整数长度分别为：a、b、c、d，则
a<b+c+d，
b<a+c+d，
c<a+b+d，
d<b+c+a，
设k为整数，k≥2，已知任何一边的长都能整除其余三边长度之和,设（a+b+c）/d=k，则
a+b+c=kd
讨论：
一、设a+b=d
则d+c=kd
c=（k-1）d
(1)k=2,c=d
(2)k=3,c=2d,
但a+c+d=2d，a+c+d=c，与c<a+b+d矛盾，
故k=2,c=d,
二、如a+b=2d,则a=b,
三、a+b=3d,则a=2d,b=d或b=2d,a=d,
四、a+b=4d,
(1)a=d,b=3d,a=3d.b=d
(2)a=2d,b=2d,c=(k-4)d,a=b
五、a+b=5d,
(1)a=4d,b=d,c=d.a=b+c+d,与c<a+b+d矛盾，
(2)a=3d,b=2d,c=(k-5)d,
k=6,c=d,
k=7,c=2d,b=c
k=8,c=3d,a=c
k=9,c=4d,c+b+d=4d+2d+d=7d,(c+b+d)/a=7d/3d不是整数，不合题意；
k=10,c=5d,不合题意；
k>10不合题意；
六、a+b=6d,
(1)a=4d,b=2d,c=(k-6)d.
k=7,c=d,
k=8,c=2d,b=c
k=9,c=3d,
a+b+d=4d+2d+d=7d,(a+b+d)/c=7d/3d不是整数，不合题意；
k=10,c=4d,a=c
k=11,c=5d,不合题意；
k>11不合题意；
(2)a=3d,b=3d,a=b
(3)a=d,b=5d,a=d
七、a+b=7d,
(1)a=6d,b=d,
(2)a=3d,b=4d,c=(k-7)d
k=8,c=d,
k=9,c=2d,(c+b+d)/c=7d/3d不是整数，不合题意；
k=10,c=3d,,(c+b+d)/c=8d/3d不是整数，不合题意；
k>10不合题意；
(3)a=2d,b=5d,c=(k-7)d
k=8,c=d
k=9,c=2d,a=c
k=10,c=3d,a+b+d=8d,(a+b+d)/c=8d/3d,不合题意；
k=11,c=4d不合题意；
k=12,c=5d,a=c
k=13,c=6d,不合题意；
(4)a=3d,b=4d,,c=(k-7)d
k=8,c=d
k=9,c=2d,不合题意
k=10,c=3d,a=c
k=11,c=4d,b=c
k=12,c=5d,不合题意
k>12不合题意
可知如果一个凸四边形的各边长都是整数,并且任何一边的长都能整除其余三边长度之和,则这个四边形必有两边相等.
7`关于x的不等式组 x²-x-2>0 ①
{ 的 整数解只有x=-2，则实数k的取
2x²+(2k×5)x+5k<0 ②
值范围是：
有第一个不等式的x>2或x<-1
第二个不等式可以写作（2x+5）（x+k）<0
所以第二个不等式有两种情况：
当k>2.5时，则解为-k<x<-2.5,此种情况显然不符合题意
当k<2.5时，则解为-2.5<x<-k,此时又有四种情况
第一种：k大于等于2小于2.5，此时方程组的解为-2.5<x<-k,不合题意
第二种：k大于等于-2小于2，此时方程组的解为-2.5<x<-1,即整数解只有-2
第三种：k大于等于-3小于-2，此时方程组的解为-2.5<x<-1或2<x<k,此时解也只为-2
第四种：k小于-3时，接的形势与第三种情况相似，但整数解却有了3，故不符合题意
综上所述：k的取值范围为k大于等于-3小于2
8`若a,b,c,d是四个正数，且abcd=1,求a/(abc+ab+a+1)+b/(bcd+bc+b+1)+c/(cda+cd+c+1)+d/(dab+da+d+1）的值？
a/(abc+ab+a+1)+b/(bcd+bc+b+1)+c/(cda+cd+c+1)+d/(dab+da+d+1)
=a/(1/d+ab+a+1)+b/(bcd+bc+b+1)+c/(1/b+cd+c+1)+d/(dab+da+d+1)
=ad/(abd+ad+d+1)+b/(bcd+bc+b+1)+bc/(bcd+bc+b+1)+d/(dab+da+d+1)
=(ad+d)/(abd+ad+d+1)+(b+bc)/(bcd+bc+b+1)
=(ad+d)/(abd+ad+d+abcd)+(b+bc)/(bcd+bc+b+abcd)
=(a+1)/(ab+a+1+abc)+(1+c)/(cd+c+1+acd)
=(a+1)/[(a+1)+ab(c+1)]+(c+1)/[(c+1)+cd(a+1)]
=1/[1+ab(c+1)/(a+1)]+1/[1+cd(a+1)/(c+1)]
=1/{1+(c+1)/[cd(a+1)]}+1/[1+cd(a+1)/(c+1)]
令(c+1)/[cd(a+1)]=x
则cd(a+1)/(c+1)=1/x
所以原式=1/(1+x)+1/(1+1/x)
=1/(1+x)+x/(1+x)
=(1+x)/(1+x)
=1
9`观察下面一列数的规律：0，3，8，15，24……则它的第2008个数为几？
那么数列0，2，6，12，20，30……的第2008个数呢？
3-0=3 ----------式子1
8-3=5 ------------式子2
15-8=7 --------式子3
24-15=9 --------式子4
.
.
.
X(第2008项)-Y(2007项)=3+2乘(2008-2)----式子2006
观察,式子1加式子2加式子3加到式子2006,等号左边为X-0即X
等号右边是等差数列,求下和就行了.
方法二:平方减一法,观察出来的
按规律,每个数等与n的平方减1.
0=1^2 -1
3=2^2 -1
8=3^2 -1
15=4^2 -1
...
第2002 个数就是2002的平方减1
2002^2-1=4008003
所以答案为4008003
10`已知实数x,y满足x^3+y^3=2则x+y的最大值是多少？
因为 x^3+y^3 = (x+y)(x^2+xy+y^2)
又 x^2+xy+y^2 = x^2+2xy+y^2-xy = (x+y)^2 - xy
所以 x^3+y^3 = (x+y)[(x+y)^2 - xy]=2 (1)
因为 (x+y)^2>=2xy
所以 [(x+y)^2]/2>=xy
上式两边同时*(-1) 得 -[(x+y)^2]/2 <= -xy
所以(1)式可以化为
(x+y)[(x+y)^2 -[(x+y)^2]/2] <= 2
所以 (x+y)* [(x+y)^2]/2 <= 2
所以 x+y <= 3√4