在小學函數教學中如何運用數形結合思想

1. 數學論文

說起數學思想，其實就是，就某一道題來說，有兩種或以上的方法去解，也就是說，從兩種或以上的角度去看問題，分析問題。現在就數學中四大思想作一篇論文。（數學四大思想：函數與方程思想、轉化與化歸思想、分類討論思想與數形結合思想；）
（一）函數與方程
函數思想，是指用函數的概念和性質去分析問題和解決問題。方程思想，是從問題的數量關系入手，運用數學語言將問題中的條件轉化等式或是不等式，然後通過解方程（組）或不等式（組）來使問題獲解。有時，還實現函數與方程的互相轉化、接軌，達到解決問題的目的。
「宇宙世界，充斥著等式和不等式。」換句話說，哪裡有等式，哪裡就有方程；哪裡有公式，哪裡就有方程；不等式問題也與方程是近親，密切相關。應用方程思想時特別需要重點考慮的大體就是列方程、解方程和研究方程的特性。
函數描述了自然界中數量之間的關系，函數思想通過題目中數量的關系，解決問題。一般地，函數思想是構造函數從而利用函數的性質解題，在解題中，善於挖掘題目中的隱含條件，構造出函數解析式和妙用函數的性質，是應用函數思想的關鍵。要對所給的問題觀察、分析、判斷比較深入、充分、全面時，才能發現由此及彼的聯系。另外，方程問題、不等式問題和某些代數問題也可以轉化為與其相關的函數問題，即用函數思想解答非函數問題。
（二）等量代換
等量代換是把未知解的問題轉化到在已有知識范圍內可解的問題的一種重要的思想方法。通過不斷的轉化，把不熟悉、不規范、復雜的問題轉化為熟悉、規范甚至模式法、簡單的問題。我們要不斷培養和訓練自覺的轉化意識，這有利於強化解決數學問題中的應變能力，提高思維能力和技能、技巧。等量代換要求轉化過程中前因後果是充分必要的，才保證轉化後的結果仍為原問題的結果。它能給人帶來思維的閃光點，找到解決問題的突破口。
「解題就是把要解題轉化為已經解過的題」。數學的解題過程，就是從未知向已知、從復雜到簡單的化歸轉換過程。」
等量代換思想方法的特點是具有靈活性和多樣性。它可以在數與數、形與形、數與形之間進行轉換；它可以在分析和解決實際問題的過程中進行，在普通語言向數學語言的翻譯中進行；消元法、換元法、數形結合法、求值求范圍問題等等，都體現了等量代換思想，但是由於其多樣性和靈活性，我們要合理地設計好轉化的途徑和方法，避免死搬硬套題型。
在數學操作中實施等量代換時，我們要盡量熟悉、簡單、直觀、標准，即把我們遇到的問題，通過轉化變成我們比較熟悉的問題來處理；或者將較為繁瑣、復雜的問題，變成比較簡單的問題；或者比較難以解決、比較抽象的問題，轉化為比較直觀的問題，以便准確把握問題的求解過程，比如數形結合法；或者從非標准型向標准型進行轉化。按照這些原則進行數學操作，轉化過程省時省力，順水推舟，經常滲透等量代換思想，可以提高解題的水平和能力。
（三）分類討論
在解答某些數學問題時，有時會遇到多種情況，需要對各種情況加以分類，並逐類求解，然後綜合得解，這就是分類討論法。
引起分類討論的原因主要是以下幾個方面：
① 問題所涉及到的數學概念是分類進行定義的。如|a|的定義分a>0、a＝0、a<0三種情況。這種分類討論題型可以稱為概念型。
② 問題中涉及到的數學定理、公式和運算性質、法則有范圍或者條件限制，或者是分類給出的。如等比數列的前n項和的公式，分q＝1和q≠1兩種情況。這種分類討論題型可以稱為性質型。
③ 解含有參數的題目時，必須根據參數的不同取值范圍進行討論。如解不等式ax>2時分a>0、a＝0和a<0三種情況討論。這稱為含參型。
另外，某些不確定的數量、不確定的圖形的形狀或位置、不確定的結論等，都主要通過分類討論，保證其全面性，更使之具有確定性。
進行分類討論時，我們要遵循的原則是：分類的對象是確定的，標準是統一的，不遺漏、不重復。
解答分類討論問題時，我們的基本方法和步驟是：首先要確定討論對象以及所討論對象的全體的范圍；其次確定分類標准，正確進行合理分類，即標准統一、不漏不重、分類互斥（沒有重復）；再對所分類逐步進行討論，分級進行，獲取階段性結果；最後進行歸納小結，綜合得出結論。
（四）數形結合
中學數學的基本知識分三類：一類是純粹數的知識，如實數、代數式、方程（組）、不等式（組）、函數等；一類是關於純粹形的知識，如平面幾何、立體幾何等；一類是關於數形結合的知識，主要體現是解析幾何。
數形結合是一個數學思想方法，包含「以形助數」和「以數輔形」兩個方面，其應用大致可以分為兩種情形：或者是藉助形的生動和直觀性來闡明數之間的聯系，即以形作為手段，數為目的，比如應用函數的圖像來直觀地說明函數的性質；或者是藉助於數的精確性和規范嚴密性來闡明形的某些屬性，即以數作為手段，形作為目的。
恩格斯曾說過：「數學是研究現實世界的量的關系與空間形式的科學。」數形結合就是根據數學問題的條件和結論之間的內在聯系，既分析其代數意義，又揭示其幾何直觀，使數量關的精確刻劃與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結合在一起，充分利用這種結合，尋找解題思路，使問題化難為易、化繁為簡，從而得到解決。華羅庚先生說過：數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，隔裂分家萬事休。
數形結合的思想，其實質是將抽象的數學語言與直觀的圖像結合起來，關鍵是代數問題與圖形之間的相互轉化，它可以使代數問題幾何化，幾何問題代數化。在運用數形結合思想分析和解決問題時，要注意三點：第一要徹底明白一些概念和運算的幾何意義以及曲線的代數特徵；第二是恰當設參、合理用參，建立關系，由數思形，以形想數，做好數形轉化；第三是正確確定參數的取值范圍。

2. 初中數學思想主要有哪些

初中數學思想方法
二、認識初中數學思想方法。
初中數學中蘊含多種的數學思想方法，但最基本的數學思想方法是數形結合的思想，分類討論思想、轉化的思想、函數的思想，突出這些基本思想方法，就相當於抓住了中學數學知識的精髓。
1、數形結合的思想 數形結合是一種重要的數學思想方法，其應用廣泛，靈活巧妙。」數缺形時少直觀，形無數時難入微」是我國著名數學家華羅庚教授的名言，是對數形結合的作用進行了高度的概括 [1]。在數學教學中，許多定律、定理及公式等常可以用圖形來描述。而利用圖形的直觀，則可以由抽象變具體，模糊變清晰，使數學問題的難度下降，從而可以從圖形中找到有創意的解題思路。如代數列方程解應用題中的行程問題，往往藉助幾何圖形，靠圖形感知來」支持」抽象的思維過程，從而尋求數量之間的相依關系。例如:小彬和小明每天早晨堅持跑步，小彬每秒跑4米，小明每秒跑6米，如果小明站在百米跑道的起點處，小彬站在他前面10米處，兩人同時同向起跑，幾秒後小明追上小彬？此時，我們可畫出如下的線路圖：
依據線路圖，我們可以找出其中的等量關系
S小明=S小彬+10，然後設未知數列方程即可。

2、分類討論的思想 分類討論思想是根據數學對象的本質屬性的相同點和不同點，將數學對象區分為不同種類的數學思想。對數學內容進行分類，可以降低學習難度，增強學習的針對性。因此，在教學中應啟發學生按不同的情況去對同一對象進行能夠分類，幫助他們掌握好分類的方法原則，形成分類的思想。如當 取何實數時，對 的值的分類討論:當 時， ；當 ＜3時， 。
3、轉化思想 數學問題的解決過程就是一系列轉化的過程，中學數學處處都體現出轉化的思想，如化繁為簡、化難為易，化未知為已知，化高次為低次等，是解決問題的一種最基本的思想。因此在教學中，首先要讓學生認識到常用的很多數學方法實質就是轉化的方法，從而確信轉化是可能的，而且是必須的；其次結合具體的教學內容進行有意識的訓練，使學生掌握這一具有重大價值的思想方法。例如:當 時，求 的值。該題可以採用直接代入法，但是更簡易的方法應為先化簡再求值，此時原式 。
4、函數的思想 辯證唯物主義認為，世界上一切事物都是處在運動、變化和發展的過程中，這就要求我們教學中重視函數的思想方法的教學。華東師大版教材把函數思想已經滲透到初一、二教材的各個內容之中。因此，教學上要有意識、有計劃、有目的地培養函數的思想方法。例如：進行求代數式的值的教學時，通過強調解題的第一步「當……時」的依據，滲透函數的思想方法--字母每取一個值，代數式就有唯一確定的值。如代數式x2-4中，當x=1時，則x2-4=-3；當x=2，則x2-4=0……通過引導學生對以上問題的討論，將靜態的知識模式演變為動態的討論，這樣實際上就賦予了函數的形式，在學生的頭腦中就形成了以運動的觀點去領會，這就是發展函數思想的重要途徑。

這是四個最常用的
其他還有：歸納、演繹等等思想

3. 如何掌握高中數學的四種思維方法

一、函數方程思想
函數方程思想就是用函數、方程的觀點和方法處理變數或未知數之間的關系,從而解決問題的一種思維方式,是很重要的數學思想.
1.函數思想：把某變化過程中的一些相互制約的變數用函數關系表達出來,並研究這些量間的相互制約關系,最後解決問題,這就是函數思想；
2.應用函數思想解題,確立變數之間的函數關系是一關鍵步驟,大體可分為下面兩個步驟：（1）根據題意建立變數之間的函數關系式,把問題轉化為相應的函數問題；（2）根據需要構造函數,利用函數的相關知識解決問題；（3）方程思想：在某變化過程中,往往需要根據一些要求,確定某些變數的值,這時常常列出這些變數的方程或（方程組）,通過解方程（或方程組）求出它們,這就是方程思想；
3.函數與方程是兩個有著密切聯系的數學概念,它們之間相互滲透,很多方程的問題需要用函數的知識和方法解決,很多函數的問題也需要用方程的方法的支援,函數與方程之間的辯證關系,形成了函數方程思想.
二、數形結合思想
數形結合是中學數學中四種重要思想方法之一,對於所研究的代數問題,有時可研究其對應幾何的性質使問題得以解決（以形助數）；或者對於所研究的幾何問題,可藉助於對應圖形的數量關系使問題得以解決（以數助形）,這種解決問題的方法稱之為數形結合.
1.數形結合與數形轉化的目的是為了發揮形的生動性和直觀性,發揮數的思路的規范性與嚴密性,兩者相輔相成,揚長避短.
2.恩格斯是這樣來定義數學的：「數學是研究現實世界的量的關系與空間形式的科學」.這就是說：數形結合是數學的本質特徵,宇宙間萬事萬物無不是數和形的和諧的統一.因此,數學學習中突出數形結合思想正是充分把握住了數學的精髓和靈魂.
3.數形結合的本質是：幾何圖形的性質反映了數量關系,數量關系決定了幾何圖形的性質.
4.華羅庚先生曾指出：「數缺形時少直觀,形少數時難入微；數形結合百般好,隔裂分家萬事非.」數形結合作為一種數學思想方法的應用大致分為兩種情形：或藉助於數的精確性來闡明形的某些屬性,或者藉助於形的幾何直觀性來闡明數之間的某種關系.
5.把數作為手段的數形結合主要體現在解析幾何中,歷年高考的解答題都有關於這個方面的考查（即用代數方法研究幾何問題）.而以形為手段的數形結合在高考客觀題中體現.
6.我們要抓住以下幾點數形結合的解題要領：
(1) 對於研究距離、角或面積的問題,可直接從幾何圖形入手進行求解即可；
(2) 對於研究函數、方程或不等式（最值）的問題,可通過函數的圖象求解（函數的零點,頂點是關鍵點）,作好知識的遷移與綜合運用；
(3) 對於以下類型的問題需要注意：可分別通過構造距離函數、斜率函數、截距函數、單位圓x2+y2=1上的點及餘弦定理進行轉化達到解題目的.
三、分類討論的數學思想
分類討論是一種重要的數學思想方法,當問題的對象不能進行統一研究時,就需要對研究的對象進行分類,然後對每一類分別研究,給出每一類的結果,最終綜合各類結果得到整個問題的解答.
1.有關分類討論的數學問題需要運用分類討論思想來解決,引起分類討論的原因大致可歸納為如下幾種：
（1）涉及的數學概念是分類討論的；
（2）運用的數學定理、公式、或運算性質、法則是分類給出的；
（3）求解的數學問題的結論有多種情況或多種可能性；
（4）數學問題中含有參變數,這些參變數的不同取值導致不同的結果的；
（5）較復雜或非常規的數學問題,需要採取分類討論的解題策略來解決的.
2.分類討論是一種邏輯方法,在中學數學中有極廣泛的應用.根據不同標准可以有不同的分類方法,但分類必須從同一標准出發,做到不重復,不遺漏,包含各種情況,同時要有利於問題研究.
四、化歸與轉化思想
所謂化歸思想方法,就是在研究和解決有關數學問題時採用某種手段將問題通過變換使之轉化,進而達到解決的一種方法.一般總是將復雜的問題通過變化轉化為簡單的問題,將難解問題通過變換轉化為容易求解的問題,將未解決的問題轉化為已解決的問題.

4. 數學常用的數學思想方法有哪些

數學常用的數學思想方法主要有：用字母表示數的思想,數形結合的思想,轉化思想 (化歸思想)，分類思想，類比思想，函數的思想，方程的思想，無逼近思想等等。

1.用字母表示數的思想：這是基本的數學思想之一 .在代數第一冊第二章「代數初步知識」中，主要體現了這種思想。

2.數形結合：是數學中最重要的，也是最基本的思想方法之一，是解決許多數學問題的有效思想。「數缺形時少直觀，形無數時難入微」是我國著名數學家華羅庚教授的名言，是對數形結合的作用進行了高度的概括。

3.轉化思想：在整個初中數學中，轉化(化歸)思想一直貫穿其中。轉化思想是把一個未知(待解決)的問題化為已解決的或易於解決的問題來解決，如化繁為簡、化難為易，化未知為已知，化高次為低次等，它是解決問題的一種最基本的思想,它是數學基本思想方法之一。

4.分類思想：有理數的分類、整式的分類、實數的分類、角的分類，三角形的分類、四邊形的分類、點與圓的位置關系、直線與圓的位置關系，圓與圓的位置關系等都是通過分類討論的。

5.類比：類比推理在人們認識和改造客觀世界的活動中具有重要意義.它能觸類旁通，啟發思考，不僅是解決日常生活中大量問題的基礎，而且是進行科學研究和發明創造的有力工具.

6.函數的思想 ：辯證唯物主義認為，世界上一切事物都是處在運動、變化和發展的過程中，這就要求我們教學中重視函數的思想方法的教學。

7.方程：是初中代數的主要內容.初中階段主要學習了幾類方程和方程組的解法，在初中階段就要形成方程的思想.所謂方程的思想，就是突出研究已知量與未知量之間的等量關系，通過設未知數、列方程或方程組，解方程或方程組等步驟，達到求值目的的解題思路和策略，

(4)在小學函數教學中如何運用數形結合思想擴展閱讀：

函數思想，是指用函數的概念和性質去分析問題、轉化問題和解決問題。方程思想，是從問題的數量關系入手，運用數學語言將問題中的條件轉化為數學模型（方程、不等式、或方程與不等式的混合組），然後通過解方程（組）或不等式（組）來使問題獲解。

從問題的整體性質出發，突出對問題的整體結構的分析和改造，發現問題的整體結構特徵，善於用「集成」的眼光，把某些式子或圖形看成一個整體，把握它們之間的關聯，進行有目的的、有意識的整體處理。整體思想方法在代數式的化簡與求值、解方程（組）、幾何解證等方面都有廣泛的應用。

5. 怎樣進行初中數學函數教學

一、注重「類比」思想
不同的事物往往具有一些相同或相似的屬性，人們正是利用相似事物具有的這種屬性，通過對一事物的認識來認識與它相似的另一事物，這種認識事物的思維方法就是類比法。
初中學習的正比例函數、一次函數、反比例函數、二次函數在概念的得來、圖象性質的研究、及基本解題方法上都有著本質上的相似。因此陽光學習網劉老師指出，採用類比的方法不但省時、省力，還有助於學生的理解和應用。是一種既經濟又實效的教學方法。
二、注重「數形結合」思想
數形結合的思想方法是初中數學中一種重要的思想方法。
數學是研究現實世界數量關系和空間形式的科學。而數形結合就是通過數與形之間的對應和轉化來解決數學問題。它包含以形助數和以數解形兩個方面，利用它可使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，它兼有數的嚴謹與形的直觀之長。
函數的三種表示方法：解析法、列表法、圖象法，本身就體現著函數的「數形結合」。函數圖象就是將變化抽象的函數「拍照」下來研究的有效工具，函數教學離不開函數圖象的研究。
三、注重自變數的取值范圍
自變數的取值范圍，是解函數問題的難點和考點。
正確求出自變數取值范圍，正確理解問題，並化歸為解不等式或不等式組。這需要學生掌握函數的思想，不等式的實際應用，全面考慮取值的實際意義

6. 如何在初中函數教學中體現新課標思想

一、初中數學函數及數形結合思想概述
（一）初中數學函數問題
函數是數學領域中的一種關系，是通過一種數理關系確定兩種元素的聯系，從而使每一個輸入值都有一個不同的輸出值，從而形成一種對應關系。在函數的表示中，一般用表示輸入值，然後用表示輸出值。簡而言之，初中數學的函數問題包含了一次函數、二次函數、反比例函數、銳角三角函數幾部分的內容。這些數學知識不僅是解決所有函數問題的開端，也是今後學生進行函數學習的基礎；大而言之，函數貫穿了整個中學的數學教學與學習，具體內容涵蓋了七年級的方程、整式、平面直角坐標系等知識，八年級的一次函數，九年級的二次函數和反比例函數，再到後來的銳角三角函數。其中，最為關鍵的還是函數基礎知識的學習。如果基礎知識掌握得不扎實，則勢必會導致後來的教學難以為繼。就二次函數而言，就包含了圖象及其性質、、對稱軸、頂點、圖形變換等等，許多初中學生「談『函數』而色變」的說法一點兒也不為過。新課標對初中數學提出了更高的標准，要求初中教師要注重對學生數學綜合能力的培養，因而提高初中函數教學的能力目標更是迫在眉睫。
（二）數形結合思想概述
所謂數形結合，就是根據數與形之間的對應關系，通過數與形的相互轉化來解決數學問題的思想。數形結合是數學解題中常用的思想方法，數形結合的思想可以使某些抽象的數學問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助於把握數學問題的本質。將代數關系以圖象的方式呈現出來，體現出了數學的嚴謹性，使得數與形能夠結合起來，進行靈活轉換，不僅直觀易發現解題途徑，而且能避免復雜的計算與推理，大大優化了解題過程。只要將歷年的中考題大致翻閱一下，便能發現諸多的初中數學函數題目，而且數形結合廣泛地存在於初中數學知識之中，可以利用函數圖形進行定性分析，簡化解題，並且巧妙地運用數形結合，使抽象表述變得增加具體，以達到事半功倍的效果。
二、數形結合在初中數學教育教學中的運用
（一）數形結合思想的導入、展開和升華
數形結合的思想能夠在初中數學教學發揮出事半功倍的效果，其關鍵環節在於教師如何將之運用到初中數學的教學之中。這就需要教師進行巧妙的導入，而不能到了函數教學的「陣前」才進行數形結合思想的導入。如教師在講解正負數的時候，就可以將數軸引入到課堂教學之中，而且在整數、分數以及絕對值的講解之時也加入了數形結合的思想了。
事實上，數形結合知識的引入可以在上面的數學知識學習中進行，但是要對其進行進一步地展開，則是在方程知識的教學之中。運用數形結合的思維，使方程（組）求解的過程得以簡化。此外，對初中數學中出現的追趕、行程等問題，都可以用數形結合的方式來解題，並且配合圖形來描述數學問題，降低初中學生的數學理解難度。數形結合的一個重要表現是以直觀的圖形來掌握這個圖形規律，並能夠做到舉一反三、融合貫通。事實上，數形結合思想還存在於多種初中數學知識之中，如「銳角三角函數」的解析等都會用到數形結合的辦法來解決。

（二）一次函數與二次函數的問題
數形結合在初中數學一次函數、二次函數教學中運用的最多的，而且也是中數學中最為常見的內容。在一次函數、二次函數的教學中，教師一定要將函數圖形與數學知識結合起來，將圖形與函數解析式結合在一起，從而使得數形結合的直觀性特點充分顯現出來。對一次函數的數形結合來說，要注意一般形式（）中的和；而二次函數則要注意頂點、開口、對稱軸這三個要素，講清楚平移、變形與解析式之間的關系。
對一次函數、二次函數教學，尤其是應用題的講解來說，一定要從基礎教學開始，將知識點的運用與串講結合起來。串講要注意基礎知識精講與運用的結合，因為扎實的基礎是應用的保證，也是解題優化的關鍵。例如，在講解二次函數圖象經過某幾點，求解析式問題的時候，出題人一般都會在這個基礎上增加一些相對較難的問題，如與直線、特殊三角形、特殊四邊形的結合等等。解決這些問題，必須要利用數形結合，畫出示意圖來幫助分析，使解題過程得以優化。
（三）銳角三角函數的問題
數形結合與銳角三角函數的關系極為密切。對於銳角三角函數來講，一定要充分地展示其仰角、俯角、坡度和坡角等基礎概念。這些概念是後來學習的基礎，必須要讓每個學生都能畫出示意圖，將概念與圖形結合起來掌握，這樣才能解決銳角三角函數中的實際問題。
對正弦、餘弦、正切概念的理解更要通過圖形來理解，將三角形的變化與數值的變化結合起來，在運算的過程中，弄清數形結合的本質，在具體講解的時候，要注意以下幾點：（1）銳角三角函數問題必須與實際問題相結合，仔細地理解題目，通過圖形的變化的過程來具體的理解銳角三角函數的改變與題目的要求，將已知與未知條件在題目中進行標注；（2）通過已知和未知條件來構建直角三角形或銳角三角函數，使得抽象問題得以直觀化；（3）熟練地運用直角三角形的性質進行解題，以函數的性質來對具體的問題講解，通過直角三角函數問題的輔助線轉化來進行具體問題的解決。
（四）綜合問題
初中函數知識之所以是重難點，不僅僅在於函數知識本身，更為重要的是用以解決綜合問題。函數可以與初中數學的任何一個知識點發生聯系，如一次函數、反比例函數、二次函數，還有幾何中的三角形、四邊形、圓等知識，與這些知識的結合使其作為中考壓軸題出現在中考試卷之中，而且這些題目都具有分值高、難度大的特點。函數圖象的幾何特徵與數量特徵緊密結合，體現了數形結合的特徵與方法。因此在初中數學函數教學中，尤其是二次函數的教學，一定要將圖形與解析式結合起來，弄清楚圖形與方程根之間的關系，弄清楚二次函數與不等式結合的運用。尤其是在幾何問題中，一定要注意幾何圖形與函數圖形的結合，從概念入手，使解題的思路更為清晰，使數形結合的理念在解題運用中得以成為可能。
三、充分運用多媒體手段來輔助進行數學教學
傳統的初中數學教學對數形結合的呈現主要是通過教師板書來實現的，這在教學中將會佔用大量的課堂時間，在一定的程度上會影響教學進度及教學效果。隨著信息技術的發展，多媒體技術的運用使其運用方便了很多，更具直觀形象化。在具體的教學中，教師應該通過課件的展示給學生，如可以採用動態的圖象來進行，從而使得內容呈現的更為直觀，學生能夠更好地掌握數學知識。
結語：數形結合是一個極為復雜的思想，對於不同類型的題目應該區別對待。具體的解題方式與解題步驟只是數學結合運用過程中的一個表現而已，但卻能夠極大地提高初中學生的數學學習能力。值得指出的是，數形結合思想的內化是一個需要長時間訓練才能解決的問題。

7. 如何利用坐標和數軸的教學培養學生數形結合的思想

數形結合的思想方法是數學教學內容的主線之一，應用數形結合的思想，可以解決以下問題：一、解決集合問題：在集合運算中常常藉助於數軸、Venn圖來處理集合的交、並、補等運算，從而使問題得以簡化，使運算快捷明了。二、解決函數問題：藉助於圖象研究函數的性質是一種常用的方法。函數圖象的幾何特徵與數量特徵緊密結合，體現了數形結合的特徵與方法。三、解決方程與不等式的問題：處理方程問題時，把方程的根的問題看作兩個函數圖象的交點問題；處理不等式時，從題目的條件與結論出發，聯系相關函數，著重分析其幾何意義，從圖形上找出解題的思路。四、解決三角函數問題：有關三角函數單調區間的確定或比較三角函數值的大小等問題，一般藉助於單位圓或三角函數圖象來處理，數形結合思想是處理三角函數問題的重要方法。五、解決線性規劃問題：線性規劃問題是在約束條件下求目標函數的最值的問題。從圖形上找思路恰好就體現了數形結合思想的應用。六、解決數列問題：數列是一種特殊的函數，數列的通項公式以及前n項和公式可以看作關於正整數n的函數。用數形結合的思想研究數列問題是藉助函數的圖象進行直觀分析，從而把數列的有關問題轉化為函數的有關問題來解決。七、解決解析幾何問題：解析幾何的基本思想就是數形結合，在解題中善於將數形結合的數學思想運用於對點、線、曲線的性質及其相互關系的研究中。八、解決立體幾何問題：立體幾何中用坐標的方法將幾何中的點、線、面的性質及其相互關系進行研究，可將抽象的幾何問題轉化純粹的代數運算。

8. 數學函數中的數形結合領域問題（八年級上學期）

（1）兩點之間距來離公式得到OB等於自CB
（2）過點Q作QD垂直於點D 由一得到三角形BOC是等邊三角形 再三線合一 得到角BOH等於30度再得到角AOH為60度 由此得到OD為二分之一t，再用勾股定理得到Q等於二分之一t倍根號三和OH為二倍根號二，則OP為二倍根號二減t，最後得到S等於二分之三t減四分之一t方根號三
（3）輔助線同上 由等邊對等角得到角QPO為30度，由此得到QO等於二分之一OP得到二倍根號三減t等於二倍t，得到t等於三分之二根號三t