⑴ 北師大版九年級數學《最大面積是多少》教學設計
一、學生知識狀況分析
學生的知識技能基礎：由簡單的二次函數y＝x2開始，然後是y＝ax2，y＝ax2+c，最後是y=a(x-h)2，y＝a(x-h)2+k，y＝ax2+bx+c，學生已經掌握了二次函數的三種表示方式和圖像的性質。
學生的活動經驗基礎：通過利用二次函數解決最大利潤的學習，學生已經經歷了由實際問題轉化為數學問題的過程，對解決這類問題有了處理經驗。
二、教學任務分析
本節課將進一步利用二次函數解決實際問題，是上一節內容的升華和提高，具體的教學目標如下：
(一)知識與技能
能夠分析和表示不同背景下實際問題中變數之間的二次函數關系，並能夠運用二次函數的知識解決實際問題中的最大(小)值。
(二)過程與方法
1. 通過分析和表示不同背景下實際問題中變數之間的二次函數關系，培養學生的分析判斷能力。
2．通過運用二次函數的知識解決實際問題，培養學生的數學應用能力。
(三)情感態度與價值觀
1．經歷探究長方形和窗戶透光最大面積問題的過程，進一步獲得利用數學方法解決實際問題的經驗，並進一步感受數學模型思想和數學知識的應用價值。
2．能夠對解決問題的基本策略進行反思，形成個人解決問題的風格。
3．進一步體會數學 與人類社會的密切聯系，了解數學的價值，增進對數學的理解和學好數學的信心，具有一定的創新精神和實踐能力。
教學重點
1．經歷探究長方形和窗戶透光最大面積問題的過程，進一步獲得利用數學方法解決實際問題的經驗，並進一步感受數學模型思想和數學知識的應用價值。
2．能夠分析和表示不同背景下實際問題中變數之間的二次函數關系，並能夠運用二次函數的知識解決實際問題。
教學難點
由圖中找到二次函數的表達式。
三、教學過程分析
本節課分為五個環節，分別是：創設問題情境引入新課、歸納升華、課堂練習活動探究、課時小結、課後作業
第一環節 創設問題情境，引入新課
設計說明：通過對上節課內容的回顧和分析再次引領學生進入用二次函數解決問題的世界，激發學生繼續探索的慾望，引入新的課程內容。
上節課我們利用二次函數解決了最大利潤問題，知道了求最大利潤就是求二次函數的最大值，實際上就是利用二次函數來解決實際問題。解決這類問題的關鍵是要讀懂題意，明確要解決的是什麼，分析問題中各個量之間的關系，把問題從數學的角度表示出來，明確已知什麼求什麼，建立數學模型。在此基礎上，利用我們所學過的 數學知識，就可以一步步得到問題的解。
本節課我們將繼續利用二次函數解決最大面積的問題。
活動內容：由四個實際問題構成
1．問題一：如下圖，在一個直角三角形的內部作一個長方形ABCD，其中AB和AD分別在 兩直角邊上。
(1)設長方形的一邊AB＝x m，那麼AD邊的長度如何表示？
(2)設長方形的面積為y m2，當x取何值時，y的值最大？最大值是多少？
問題一的設計目的：
這個問題，學生在學習相似時見過同種類型，所以在課堂上要給學生留出一些思考和交流的時間，讓學生充分發揮課堂的主體地位。在學生充分發揮自主探索的能力後，教師要與學生共同協作完成題目的解答。這樣做的目的是為學生在後面的學習起示範作用，幫助學生在腦海中形成完整的解答過程。具體的過程如下：
分析：(1)要求A D邊的長度，即求BC邊的長度，而BC是△EBC中的一邊，因此可以用三角形相似求出BC 。由△EBC∽△EAF，得即 ，所以AD＝BC＝ (40－x)。
(2)要求面積y的最大值，即求函數y＝AB·AD＝x· (40－x)的最大值，就轉化為數學問題了。
下面由師生共同合作完成解答過程。
(1)∵BC∥AD，
∴△EBC∽△EAF．∴ ．
又AB＝x，BE＝40－x，
∴ ．∴BC＝ (40－x)．
∴AD＝BC＝ (40－x)＝30－ x．
(2)y＝AB·AD＝x(30－ x)＝－ x2＋30x
＝－ (x2－40x＋400－400)
＝－ (x2－40x＋400)＋300
＝－ (x－20)2＋300．
當x＝20時，y最大＝300．
即當x取 20m 時，y的值最大，最大值是 300m2 ．
【思考】解決這類問題你有什麼心得？
（首先對題意進行分析，找到變數間的關系，發現求面積就是求矩形的兩條邊，其次把兩條邊都用含有x的代數式表示出來，最後帶入面積公式將實際問題轉化為數學問題，用數學的方式解決它。）
2．問題二：將問題一變式：「設AD邊的長為x m，則問題會怎樣呢？」
問題二的設計目的：
學生在是生活中遇到的問題是千變萬化的，他們要有具體問題具體分析的能力，所以將問題進行一定變化後學生可以通過自己的分析獨立解決這類問題。從而提高學生獨立思考並解決問題的能力。
分析：要求面積需求AB的邊長，而AB=CD，所以需要求DC的長度，而DC是△FDC中的一邊，所以可以利用三角形相似來求。
解：∵DC∥AB，
∴△FDC∽△FAE．
∴ ．
∵AD＝x，FD＝30－x．
∴ ．
∴DC＝ (30－x)．
∴AB＝DC＝ (30－x)．
y＝AB·AD＝x· (30－x)
＝－ x2＋40x
＝－ (x2－3 0x＋225－225)
＝－ (x－15 )2＋300．
當x＝15時，y最大＝300．
即當AD的長為 15m 時，長方形的面積最大，最大面積是 300m2 ．
感知：同一實際問題中的最大值問題與所設的自變數無關，它是客觀存在的。
教學說明：
課堂上要求學生獨立完成這個問題的完整解答，請一、兩名學生板演，再由其他學生進行點評，找出完美的解答過程。體現學生的自主探索、合作交流的意識與能力，也充分體現了生生評價的激勵作用。
3．問題三：對問題一再變式
問題三的設計目的：
問題二的解答會使一部分學生完全按照問題一的格式套下來，此時他們還會有點不熟練，但問題三則從另一個角度重新詮釋了面積最大的問題。即讓學生對這個問題重新進行審視又讓學生徹底弄清這類問題的思考方式。讓學生在課堂上看到了活生生的數學問題，感受到數學與生活有著密切的聯系，使學生真正領悟到數學的價值。
如圖,在一個直角三角形的內部作一個矩形ABCD，其中點A和點D分別在兩直角邊上,BC在斜邊上.
(1).設矩形的一邊BC=xm,那麼AB邊的長度如何表示？
(2).設矩形的面積為ym2,當x取何值時,y的最大值是多少?
【分析】：該題在前兩個題的基礎上有了在升華，兩個變數不能直接從圖形找到關系，而要藉助於直角三角形斜邊上的高才能找到兩者的關系，所以該題要添加輔助線——斜邊上的高。
活動目的：
有了前面兩題作基礎，這個問題教師可以帶領學生先行分析後留給學生自己解決，作為練習。
4．問題四：
問題四的設計目的：
有關面積最大問題的基礎訓練前面已經涉及，這里設計了提高題來提升學生解決問題的能力。
某建築物的窗戶如下圖所示，它的上半部是半圓，下半部是矩形，製造窗框的材料總長(圖中所有黑線的長度和)為 15m ．當x等於多少時，窗戶通過的光線最多(結果精確到 0.01m )？此時，窗戶的面積是多少？
分析：x為半圓的半徑，2x是矩形的較長邊，因此x與半圓面積和矩形面積都有關系，要求透過窗戶的光線最多，也就是求矩形和半圓 的面積之和最大，即2xy＋ x2最大，而由於4y＋4x＋3x＋πx＝7x＋4y＋πx＝15，所以y＝ 。面積S＝ πx2＋2xy＝ πx2＋2x· ＝ πx2＋ ＝－3.5x2＋7.5x，這時已經轉化為數學問題即二次函數了，只要化為頂點式或代入頂點坐標公式中即可．
解：∵7x＋4y＋πx＝15，
∴y＝ ．
設窗戶的面積是S(m2)，則
S＝ πx2＋2xy
＝ πx2＋2x·
＝ πx2＋
＝－3.5x2＋7.5x
＝－3.5(x2－ x)
＝－3.5(x－ )2＋ ．
∴當x＝ ≈1.07時，
S最大＝ ≈4.02．
即當x≈ 1.07m 時，S最大≈ 4.02m2 ，此時，窗戶通過的 光線最多．
實際教學效果：
問題四 中的數量關系，較前面3個問題，該題處理起來比較繁瑣，教師要給予學生及時的指導和幫助。
第二環節 歸納升華
活動內容：
同學們能否根據前面的例子作一下總結，解決此類問題的基本思路是什麼呢？與同伴進行交流．
活動目的：
通過前面例題的學習和感受，學生討論交流，在教師的幫助下歸納出：
基本流程為：理解題目 分析已知量與未知量 轉化為數學問題．
解決此類問題的基本思路是：
(1)理解問題；
(2)分析問題中的變數和常量以及它們之間的關系；
(3)用二次函數表示出變數間的關系；
(4)確定最大值或最小值；
(5)檢驗結果的合理性並進行應用拓展。
第三環節 課堂練習，活動探究
活動內容：
用 48 米 長的竹籬笆圍建一矩形養雞場,養雞場一面用磚砌成,另三面用竹籬笆圍成,並且在與磚牆相對的一面開 2 米 寬的門(不用籬笆),問養雞場的邊長為多少米時,養雞場佔地面積最大?最大面積是多少?
【設計說明】：
通過一節課的的研究，讓學生進一步感受二次函數解決面積最大的思路，為了讓更多的學生體驗到成功，利用這個比較簡單的問題及時鞏固，並有利於學生樹立信心。
第四環節 課時小結
本節課我們進一步學習了用二次函數知識解決最大面積的問題，增強了應用數學知識的意識，獲得了利用數學方法解決實際問題的經驗，並進一步感受了數學建模思想和數學知識的應用價值．
【說明】：旨在培養學生的建模思想和合作交流的意識。課堂中應請學生自主總結本節課的內容。教師予以鼓勵、表揚和肯定即可。
第五環節 課後作業
習題2．8 1、2
四、評價與反思
本節課的目的主要使學生經歷長方形和窗戶最大透光問題的過程，進一步獲得利用數學方法解決實際問題的經驗，進一步感受數學模型思想和數學的應用價值。
在教學中，要盡可能的給學生留有充分的時間去思考、反思，讓他們將老師傳授的知識轉化為自己的理解，讓學生用自己的認知完成問題的解答，教師只要給予適時的指導即可。課堂是學生的課堂，學生的創造力不可限量，課堂上要讓讓學生去發揮、去創造。
因為學生的數學語言表達能力還有些欠缺，邏輯思維能力的訓練還需加強，所以課堂上要加強對問題解答過程的書寫訓練。