小學數學相遇問題解析

『壹』 一道小學六年級生活數學應用題（相遇問題，有圖），作為家長有點犯難，望高手幫忙分析及解答一下。

分析：因為甲、乙沿不同的路線跑，所以並不是乙多跑了一圈就一定有一次超過，超過只可能發生在他們共同經過的路線也就是ACB那一段跑道。
解答：⑴根據已知條件ACBEA總長為400米，則ACB長度為200米。甲速度每100米用24秒，乙速度每100米用21秒，則甲每次通過ACB要用48秒，乙每次通過ACB要用42秒，也就是如果某次乙經過A點的時間比甲晚不超過6秒，他就能在這一圈追上甲，下面看甲乙經過A點的時間序列表（單位：秒）
第一圈 第二圈 第三圈 第四圈 第五圈 第六圈
甲 （每圈275米） 0 66 132 198 264 330
乙 （每圈400米） 0 84 168 252 336 420

由上表分析，當乙跑開始第五圈，甲開始跑第六圈，乙經過A點的時間正好比甲晚不超過6秒，由此可知乙跑第五圈時會第一次與甲相遇。

⑵甲跑一圈用66秒，乙跑一圈用84秒，它們的最小公倍數為924，因此924秒即15分24秒後，甲、乙第一次同時回到A點。

答：⑴乙跑第五圈時第一次與甲相遇。 ⑵出發924秒後甲、乙再次在A點相遇。

參考資料: http://wenku..com/link?url=YJMtzmPZpjO9VBiuSIkIqf_coxPv_qDaI_C_uzn4xK5Cpt5Vv-X__3DfZNZCaPGBweJWNEIZ4OzG7

『貳』 追擊相遇問題

其實這類問題，關鍵是要把雙方的相對運動有幾個階段分清楚就好了。畫一下圖，或者自己拿兩個東西模擬一下都行。。這種題就兩個步驟，先分析運動模型，再具體計算。就你的這個例題，咱們就從甲車從乙車身邊經過這個時刻開始分析，只有兩（三）個階段：1）一開始兩車都在向前開，但是甲的速度大，所以肯定距離s越拉越大。2）因為甲車勻減速，總有一個時刻t，兩車速度相等了（都變成4m＆＃47；s）3）從此以後，甲車速度越來越慢，乙車不停地追上去，兩者距離s越來越小。從上面可以看出，這個距離s先從0開始變大，在t時刻達到最大，後來由慢慢變小等於0。現在我們就要求最大距離，也就是t時刻的兩車距離。至此，分析結束，我們明確了為什麼速度相等時距離最大了，接下來可以計算這個距離了。你想一下答案什麼意思？其實很簡單也很巧妙，如果我們把乙車看成時靜止的，那麼從乙車的角度來看，第一個階段甲車在干什麼呢？甲車其實是以初速度為6m＆＃47；s（＝10－4）向前開，作勻減速運動一直到0m＆＃47；s（雙方速度相等，相對靜止）v所以說就是一個從6勻減速到0的運動517你們老師肯定講過zdh這就等價於一個從0開始勻加速到6的運動的逆過程這個時間就是用v＝at計算的，6＝0．5t，所以t＝12。第一階段總的距離就是1＆＃47；2＊a＊t＊t＝1＆＃47；2＊0．5＊12＊12＝36米。物體題的思想其實都很類似的，一通百通越做越有意思。最關鍵的是要靜下心來把模型分析清楚了ptx運動問題把運動階段分析清楚，力學問題把受力分析搞清楚，就容易解決了～關於你開始提的問題，有沒有速度相等位移差最小的情況？當然有啊，比如說，甲在追乙，甲的速度一開始比乙大，但是甲越跑越慢，乙越跑越快，你看是不是就是這種情況。（眼看著就要追上了但還沒有追上，這時候甲乙速度相等了。接下來甲沒勁兒了，慢了下來，乙卻越來越快，於是差距就越來越大了。。）

『叄』 相遇問題解析

基本數量關系：路程和=速度和×相遇時間

解題思路：在已知條件中清楚地找到三者，或運用三者之一解題。注意用畫圖來理順三者之間的關系

習題：1、甲乙兩車同時從AB兩地相對開出。甲行駛了全程的5/11,如果甲每小時行駛4.5千米，乙行了5小時。求AB兩地相距多少千米 ?
解：AB距離=（4.5×5）/（5/11）=49.5千米
2、一輛客車和一輛貨車分別從甲乙兩地同時相向開出。貨車的速度是客車的五分之四，貨車行了全程的四分之一後，再行28千米與客車相遇。甲乙兩地相距多少千米？
解：客車和貨車的速度之比為5：4
那麼相遇時的路程比=5：4
相遇時貨車行全程的4/9
此時貨車行了全程的1/4
距離相遇點還有4/9-1/4=7/36
那麼全程=28/（7/36）=144千米
3、甲乙兩人繞城而行，甲每小時行8千米，乙每小時行6千米。現在兩人同時從同一地點相背出發，乙遇到甲後，再行4小時回到原出發點。求乙繞城一周所需要的時間？
解：甲乙速度比=8：6=4：3
相遇時乙行了全程的3/7
那麼4小時就是行全程的4/7
所以乙行一周用的時間=4/（4/7）=7小時
4、甲乙兩人同時從A地步行走向B地，當甲走了全程的1\4時，乙離B地還有640米，當甲走餘下的5\6時，乙走完全程的7\10，求AB兩地距離是多少米？
解：甲走完1/4後餘下1-1/4=3/4
那麼餘下的5/6是3/4×5/6=5/8
此時甲一共走了1/4+5/8=7/8
那麼甲乙的路程比=7/8：7/10=5：4
所以甲走全程的1/4時，乙走了全程的1/4×4/5=1/5
那麼AB距離=640/（1-1/5）=800米
5、甲，乙兩輛汽車同時從A，B兩地相對開出,相向而行。甲車每小時行75千米，乙車行完全程需7小時。兩車開出3小時後相距15千米，A,B兩地相距多少千米？
解：一種情況：此時甲乙還沒有相遇
乙車3小時行全程的3/7
甲3小時行75×3=225千米
AB距離=（225+15）/（1-3/7）=240/（4/7）=420千米
一種情況：甲乙已經相遇
（225-15）/（1-3/7）=210/（4/7）=367.5千米
6、甲，已兩人要走完這條路，甲要走30分，已要走20分，走3分後，甲發現有東西沒拿，拿東西耽誤3分，甲再走幾分鍾跟乙相遇?
解：甲相當於比乙晚出發3+3+3=9分鍾
將全部路程看作單位1
那麼甲的速度=1/30
乙的速度=1/20
甲拿完東西出發時，乙已經走了1/20×9=9/20
那麼甲乙合走的距離1-9/20=11/20
甲乙的速度和=1/20+1/30=1/12
那麼再有（11/20）/（1/12）=6.6分鍾相遇
7、甲，乙兩輛汽車從A地出發，同向而行，甲每小時走36千米，乙每小時走48千米，若甲車比乙車早出發2小時，則乙車經過多少時間才追上甲車？
解：路程差=36×2=72千米
速度差=48-36=12千米/小時
乙車需要72/12=6小時追上甲
8、甲乙兩人分別從相距36千米的ab兩地同時出發,相向而行,甲從a地出發至1千米時,發現有物品以往在a地，便立即返回，去了物品又立即從a地向b地行進，這樣甲、乙兩人恰好在a，b兩地的終點處相遇，又知甲每小時比乙多走0.5千米，求甲、乙兩人的速度?
解：
甲在相遇時實際走了36×1/2+1×2=20千米
乙走了36×1/2=18千米
那麼甲比乙多走20-18=2千米
那麼相遇時用的時間=2/0.5=4小時
所以甲的速度=20/4=5千米/小時
乙的速度=5-0.5=4.5千米/小時
9、兩列火車同時從相距400千米兩地相向而行,客車每小時行60千米，貨車小時行40千米，兩列火車行駛幾小時後，相遇有相距100千米？
解：速度和=60+40=100千米/小時
分兩種情況，
沒有相遇
那麼需要時間=（400-100）/100=3小時
已經相遇
那麼需要時間=（400+100）/100=5小時
10、甲每小時行駛9千米，乙每小時行駛7千米。兩者在相距6千米的兩地同時向背而行，幾小時後相距150千米?
解：速度和=9+7=16千米/小時
那麼經過（150-6）/16=144/16=9小時相距150千米
11、甲乙兩車從相距600千米的兩地同時相向而行已知甲車每小時行42千米，乙車每小時行58千米兩車相遇時乙車行了多少千米？
解：
速度和=42+58=100千米/小時
相遇時間=600/100=6小時
相遇時乙車行了58×6=148千米

或者
甲乙兩車的速度比=42：58=21：29
所以相遇時乙車行了600×29/（21+29）=348千米
12、兩車相向,6小時相遇,後經4小時,客車到達,貨車還有188千米,問兩地相距？
解：將兩車看作一個整體
兩車每小時行全程的1/6
4小時行1/6×4=2/3
那麼全程=188/（1-2/3）=188×3=564千米

『肆』 追擊問題=路程除以速度差 相遇問題=路程除以速度和 請問這是怎麼得出來的解析一下有圖也不錯O(∩_∩)O~

希望有幫助！

『伍』 小學四年級奧數相遇問題解答

甲行了4-1=3小時，乙行了4小時，合行完了全程

由於甲的行進速度是乙的2倍，那麼版甲3小時行的乙需要3×2=6小時

乙行權完全程需要4+6=10小時，

乙每小時行100÷10=10千米，甲每小時行10×2=20千米

『陸』 物理中的追擊和相遇問題有哪幾種情況

1.追及和相遇問題
當兩個物體在同一直線上運動時，由於兩物體的運動情況不同，所以兩物體之間的距離會不斷發生變化，兩物體間距會越來越大或越來越小，這時就會涉及追及、相遇或避免碰撞等問題.
2.追及問題的兩類情況
(1)速度大者減速(如勻減速直線運動)追速度小者(如勻速運動)：
①當兩者速度相等時，若兩者位移之差仍小於初始時的距離，則永遠追不上，此時兩者間有最小距離.
②若兩者位移之差等於初始時的距離，且兩者速度相等時，則恰能追上，也是兩者相遇時避免碰撞的臨界條件.
③若兩者位移之差等於初始時的距離時，追者速度仍大於被追者的速度，則被追者還有一次追上追者的機會，其間速度相等時兩者間距離有一個極大值.
(2)速度小者加速(如初速度為零的勻加速直線運動)追速度大者(如勻速運動)：
①當兩者速度相等時有最大距離.
②若兩者位移之差等於初始時的距離時，則追上.
3.相遇問題的常見情況
(1)同向運動的兩物體追及即相遇.
(2)相向運動的物體，當各自發生的位移大小和等於開始時兩物體的距離時即相遇.
重點難點突破
一、追及和相遇問題的常見情形
1.速度小者追速度大者常見的幾種情況：
類型
圖象
說明
勻加速追勻速

①t＝t0以前，後面物體與前面物體間距離增大
②t＝t0時，兩物體相距最遠為x0＋Δx
③t＝t0以後，後面物體與前面物體間距離減小
④能追及且只能相遇一次
註：x0為開始時兩物體間的距離
勻速追勻減速

勻加速追勻減速

2.速度大者追速度小者常見的情形：
類型
圖象
說明
勻減速追勻速

開始追及時，後面物體與前面物體間距離在減小，當兩物體速度相等時，即t＝t0時刻：
①若Δx＝x0，則恰能追及，兩物體只能相遇一次，這也是避免相撞的臨界條件
②若Δx<x0，則不能追及，此時兩物體間最小距離為x0－Δx
③若Δx>x0，則相遇兩次，設t1時刻Δx1＝x0兩物體第一次相遇，則t2時刻兩物體第二次相遇
註：x0是開始時兩物體間的距離
勻速追勻加速

勻減速追勻加速

二、追及、相遇問題的求解方法
分析追及與相遇問題大致有兩種方法，即數學方法和物理方法，具體為：
方法1：利用臨界條件求解.尋找問題中隱含的臨界條件，例如速度小者加速追趕速度大者，在兩物體速度相等時有最大距離；速度大者減速追趕速度小者，在兩物體速度相等時有最小距離.
方法2：利用函數方程求解.利用不等式求解，思路有二：其一是先求出在任意時刻t兩物體間的距離y＝f(t)，若對任何t，均存在y＝f(t)>0，則這兩個物體永遠不能相遇；若存在某個時刻t，使得y＝f(t)≤0，則這兩個物體可能相遇.其二是設在t時刻兩物體相遇，然後根據幾何關系列出關於t的方程f(t)＝0，若方程f(t)＝0無正實數解，則說明這兩物體不可能相遇；若方程f(t)＝0存在正實數解，則說明這兩個物體可能相遇.
方法3：利用圖象求解.若用位移圖象求解，分別作出兩個物體的位移圖象，如果兩個物體的位移圖象相交，則說明兩物體相遇；若用速度圖象求解，則注意比較速度圖線與t軸包圍的面積.
方法4：利用相對運動求解.用相對運動的知識求解追及或相遇問題時，要注意將兩個物體對地的物理量(速度、加速度和位移)轉化為相對的物理量.在追及問題中，常把被追及物體作為參考系，這樣追趕物體相對被追物體的各物理量即可表示為：s相對＝s後－s前＝s0，v相對＝
v後－v前，a相對＝a後－a前，且上式中各物理量(矢量)的符號都應以統一的正方向進行確定.
三、分析追及、相遇問題的思路和應注意的問題
1.解「追及」、「相遇」問題的思路
(1)根據對兩物體運動過程的分析，畫出物體的運動示意圖.
(2)根據兩物體的運動性質，分別列出兩物體的位移方程.注意要將兩物體運動時間的關系反映在方程中.
(3)由運動示意圖找出兩物體位移間的關聯方程.
(4)聯立方程求解.
2.分析「追及」、「相遇」問題應注意的幾點
(1)分析「追及」、「相遇」問題時，一定要抓住「一個條件，兩個關系」：
「一個條件」是兩物體的速度滿足的臨界條件，如兩物體距離最大、最小、恰好追上或恰好追不上等.
「兩個關系」是時間關系和位移關系.其中通過畫草圖找到兩物體位移之間的數量關系，是解題的突破口.因此，在學習中一定要養成畫草圖分析問題的良好習慣，因為正確的草圖對幫助我們理解題意、啟迪思維大有裨益.
(2)若被追趕的物體做勻減速運動，一定要注意追上該物體前是否停止運動.
(3)仔細審題，注意抓住題目中的關鍵字眼，充分挖掘題目中的隱含條件，如「剛好」、「恰好」、「最多」、「至少」等，往往對應一個臨界狀態，要滿足相應的臨界條件.
典例精析
1.運動中的追及和相遇問題
【例1】在一條平直的公路上，乙車以10 m/s的速度勻速行駛，甲車在乙車的後面做初速度為15 m/s，加速度大小為0.5 m/s2的勻減速運動，則兩車初始距離L滿足什麼條件時可以使(1)兩車不相遇；(2)兩車只相遇一次；(3)兩車能相遇兩次(設兩車相遇時互不影響各自的運動).
【解析】設兩車速度相等經歷的時間為t，則甲車恰能追上乙車時，應有
v甲t－ ＝v乙t＋L
其中t＝ ，解得L＝25 m
若L>25 m，則兩車等速時也未追及，以後間距會逐漸增大，即兩車不相遇.
若L＝25 m，則兩車等速時恰好追及，兩車只相遇一次，以後間距會逐漸增大.
若L<25 m，則兩車等速時，甲車已運動至乙車前面，以後還能再次相遇，即能相遇兩次.
【思維提升】對於追及和相遇問題的處理，要通過兩質點的速度進行比較分析，找到隱含條件(即速度相同時，兩質點間距離最大或最小)，再結合兩個運動的時間關系、位移關系建立相應方程求解.
【拓展1】兩輛游戲賽車a、b在兩條平行的直車道上行駛.t＝0時兩車都在同一計時處，此時比賽開始.它們在四次比賽中的v-t圖象如圖所示.哪些圖對應的比賽中，有一輛賽車追上另一輛 ( AC )
【解析】由v-t圖象的特點可知，圖線與t軸所圍成面積的大小，即為物體位移的大小.觀察4個圖象，只有A、C選項中，a、b所圍面積的大小有相等的時刻，故A、C正確.
2.追及、相遇問題的求解
【例2】在水平軌道上有兩列火車A和B相距s，A車在後面做初速度為v0、加速度大小為2a的勻減速直線運動，而B車同時做初速度為零、加速度為a的勻加速直線運動，兩車運動方向相同.要使兩車不相撞，求A車的初速度v0應滿足什麼條件？
【解析】解法一：(物理分析法)A、B車的運動過程(如圖所示)利用位移公式、速度公式求解.
對A車有sA＝v0t＋ ×(－2a)×t2
vA＝v0＋(－2a)×t
對B車有sB＝ at2，vB＝at
兩車有s＝sA－sB
追上時，兩車不相撞的臨界條件是vA＝vB
聯立以上各式解得v0＝
故要使兩車不相撞，A車的初速度v0應滿足的條件是v0≤
解法二：(極值法)利用判別式求解，由解法一可知sA＝s＋sB，即v0t＋ ×(－2a)×t2＝s＋ at2
整理得3at2－2v0t＋2s＝0
這是一個關於時間t的一元二次方程，當根的判別式Δ＝(2v0)2－4×3a×2s<0時，t無實數解，即兩車不相撞，所以要使兩車不相撞，A車的初速度v0應滿足的條件是v0≤
解法三：(圖象法)利用速度—時間圖象求解，先作A、B兩車的速度—時間圖象，其圖象如圖所示，設經過t時間兩車剛好不相撞，則對A車有vA＝v＝v0－2at
對B車有vB＝v＝at
以上兩式聯立解得t＝
經t時間兩車發生的位移之差，即為原來兩車間的距離s，它可用圖中的陰影面積表示，由圖象可知
s＝ v0•t＝ v0•
所以要使兩車不相撞，A車的初速度v0應滿足的條件是v0≤
【思維提升】三種解法中，解法一注重對運動過程的分析，抓住兩車間距有極值時速度應相等這一關鍵條件來求解；解法二中由位移關系得到一元二次方程，然後利用根的判別式來確定方程中各系數間的關系，這也是中學物理中常用的數學方法；解法三通過圖象不僅將兩物體運動情況直觀、形象地表示出來，也可以將位移情況顯示，從而快速解答.
【拓展2】從地面上以初速度2v0豎直上拋物體A，相隔Δt時間後再以初速度v0豎直上拋物體B.要使A、B在空中相遇，Δt應滿足什麼條件？
【解析】A、B兩物體都做豎直上拋運動，由s＝v0t－ gt2作出它們的s-t圖象，如圖所示.顯然，兩圖線的交點表示A、B相遇(sA＝sB).
由圖象可看出Δt滿足關系式 時，A、B在空中相遇.
易錯門診
3.分析追及、相遇問題的思路
【例3】現檢測汽車A的制動性能：以標准速度20 m/s在平直公路上行駛時，制動後40 s停下來.若A在平直公路上以20 m/s的速度行駛時發現前方180 m處有一貨車B以6 m/s 的速度同向勻速行駛，司機立即制動，能否發生撞車事故？
【錯解】設汽車A制動後40 s的位移為x1，貨車B在這段時間內的位移為x2.
據a＝ 得車的加速度a＝－0.5 m/s2
又x1＝v0t＋ at2得
x1＝20×40 m＋ ×(－0.5)×402 m＝400 m
x2＝v2t＝6×40 m＝240 m
兩車位移差為400 m－240 m＝160 m
因為兩車剛開始相距180 m>160 m
所以兩車不相撞.
【錯因】這是典型的追及問題.關鍵是要弄清不相撞的條件.汽車A與貨車B同速時，兩車位移差和初始時刻兩車距離關系是判斷兩車能否相撞的依據.當兩車同速時，兩車位移差大於初始時刻的距離時，兩車相撞；小於、等於時，則不相撞.而錯解中的判據條件錯誤導致錯解.
【正解】如圖，汽車A以v0＝20 m/s的初速度做勻減速直線運動經40 s停下來.據加速度公式可求出a＝－0.5 m/s2.當A車減為與B車同速時，是A車逼近B車距離最多的時刻，這時若能超過B車則相撞，反之則不能相撞.

據v2－ ＝2ax可求出A車減為與B車同速時的位移
x1＝ m＝364 m
此時間t內B車的位移為x2，則t＝ s＝28 s
x2＝v2t＝6×28 m＝168 m
Δx＝364 m－168 m＝196 m>180 m
所以兩車相撞.
【思維提升】分析追及問題應把兩物體的位置關系圖(如解析中圖)畫好.通過此圖理解物理情景.本題也可以藉助圖象幫助理解，如圖所示，陰影區是A車比B車多通過的最大距離，這段距離若能大於兩車初始時刻的距離則兩車必相撞.小於、等於則不相撞.從圖中也可以看出A車速度成為零時，不是A車比B車多走距離最大的時刻，因此不能作為臨界條件分析.