小學數學體積和容積

『壹』 關於小學數學科怎樣利用信息化提升學生自主學習能力

從兒童思維特點來看，小學生的思維是以具體形象思維為主要形式，逐步向抽象邏輯思維過渡。如何在教學中培養小學生的數學的思維能力？這地需要我們在教學中充分發揮信息技術的優勢，為小學生學習數學的道路上提供豐富多彩的教學環境和提高學習能力的工具。合理地利用信息技術進行教學，可以以生動、新穎、富有童趣的畫面，直觀動態的演示，強而有力的吸引著學生，為學生創造了一個活潑、生動的獲取知識、信息的氛圍，激活學生的思維品質，讓學生的思維富有抽象性、靈活性、創造性。關鍵詞：信息技術數學思維能力隨著新課程改革的推進和信息技術的飛速發展，信息技術與教學的整合已成為必然的趨勢。數學，是一門抽象性較強的學科。從兒童思維特點來看，小學生的思維是以具體形象思維為主要形式，逐步向抽象邏輯思維過渡。如何在教學中培養小學生的數學的思維能力？這地需要我們在教學中充分發揮信息技術的優勢，為小學生學習數學的道路上提供豐富多彩的教學環境和提高學習能力的工具。合理地利用信息技術，以生動、新穎、富有童趣的畫面，直觀動態的演示，強而有力的吸引著學生，為學生創造了一個活潑、生動的獲取知識、信息的氛圍，激活學生的思維品質，讓學生的思維富有抽象性、靈活性、創造性。一、巧用信息技術，激活學生的抽象性思維。對於小學生來說，數學中的「對稱」、「平行」、「質數」、「比例」等術語以及「小數」、「體積」、「容積」等概念，是比較抽象難懂，不好理解的。教師可以把一些具體形象、概念、關系等，利用現代信息技術形象生動、色彩艷麗等特點創設情境，有效地激發學生的學習興趣，使抽象、枯燥的數學概念變得直觀、形象，使學生從課件中感受到數學學習的樂趣，讓他們喜愛數學並樂於學數學。例1：小學五年級學生對於「容積」概念的認識理解透徹是個難點。容積和體積是兩個有聯系但又有區別的概念。教學中，我們可以藉助信息技術，出事「容積體積」比較的組合圖（如圖1），以「體積」概念為生長點，讓學生在觀察中，獲得感性知識，形成知識的表象，再進行比較。圖1例2：教學中，有的學生會產生質疑小數的數值並不小，但為什麼叫「小數」呢？在《小數的產生和意義》的課堂上，我們可以利用信息技術，製作將一條線段平均分成10份的動畫，取其中的一份或幾份時產生了一位小數（十分位）。而後利用多媒體動畫把其中的一份平均分成10份（放大演示），從而產生了兩位小數（百分位）??如此類推，學生通過動畫演示，經歷了小數形成的過程，並抽象出小數的概念，小數並不小，它只是計數單位不斷地變小。例3：教學《長方體的體積計算》時，組織學生用12個棱長為1厘米的小正方體拼擺成各種不同的長方體，學生探究交流後，運用信息技術，有序演示學生不同的操作探究的結果，先用棱長是1厘米的正方體一個一個地擺成一行，再一行一行地擺成一層，最後一層一層地擺成各種不同形狀的長方體。在這一過程中學生能清晰地看到，無論怎樣拼，拼成的長方體所含體積單位的個數等於每行擺的個數(長所含的厘米數)、擺的行數(寬所含的厘米數)和擺的層數(高所含的厘米數)的乘積，進而抽象概括得出：長方體的體積=長×寬×高。信息技術的巧妙使用，可以突破時間與空間的限制，模擬模擬形象，為具體形象思維順利向抽象思維過度，讓學生經歷知識的形成過程，為學生提供清晰有序的思維動態，激活學生的抽象性思維。二、信息技術輔助教學，提高學生的靈活性思維。教學中，通過有效的信息技術課件輔助教學，直觀生動展示圖形的變化，化靜為動，動靜結合，使靜態的知識動態化，使學生掌握基礎知識，提高其思維的靈活性。例1：在教學比較角的大小時，多媒體中的平移動畫更能發揮作用：除了以上兩種平移的動畫，還可以演示同一個角兩邊縮短、延長的的動畫，不但使學生生動地理解到角的大小與兩邊的長度沒有關系，是由兩邊叉開的大小決定的，更讓能學生感受到比較的多樣性、靈活性。例2：《平行四邊行面積的計算》，首先讓學生用數方格的方法初步感知平行四邊形與長方形的聯系，然後提出平行四邊行面積的面積是否也可以轉化成長方形的面積來考慮？通過課件演示分割、拼接推導出平行四邊形面積公式，引導學生有序地觀察演變過程，讓學生在觀察平行四邊形至長方形的轉化過程中，思考：「平行四邊形的底和高與長方形的長和寬有什麼關系？」從而得出平行四邊形的底等於長方形的長，平行四邊形高等於長方形的寬，那麼平行四邊形的面積就等於長方形的面積。例3：《圓的面積》這一課時需要培養學生化曲為直的思維觀念，把圓轉化成長方形或平行四邊形這一抽象的過程，對於大部分學生來說很難通過想像實現。然而，運用多媒體動畫就可以形象地把圓進行等分—拼合，把這一抽象過程完整地呈現，使抽象的教學內容變得具體、豐富。通過信息技術演示，將原圖形通過割補、分割、平移、拼接等途徑進行變形，把位置的面積計算問題轉化成已知圖形的面積計算問題，使知識變難為易。三、通過信息技術整合，培養學生的創造性思維。創新是一個民族的靈魂，是國家興旺發達的不竭動力。要培養學生的創新能力，首先要培養學生的創新意識，而培養學生的創新意識，可通過信息技術整合，激發學生濃厚的學習興趣和高漲的學習熱情，使學生探索創新認識活動變成學生的心理需求，激活學生的創新熱情。例1：教學《三角形三邊的關系》時，為了讓學生加深對三條邊關系的理解，可以設計一道已知兩邊長度，判斷第三邊長度的開放式練習題，如：一個三角形的兩邊分別是5厘米、9厘米，第三條邊可能是多少？引導學生去思考：是不是只要小於14厘米就能圍成三角形呢？為了幫助學生更好的理解，可以把第三邊的長度用課件逐步動態展示出它的范圍，當第三邊是13厘米時能否圍成三角形，再把第三邊逐漸縮短，觀察第三邊縮到多長時就不能圍成三角形，使學生比較直觀的感悟到第三邊的長度應大於兩邊之差，小於兩邊之和，才能符合任意兩邊之和大於第三邊的規律。例2：《梯形面積的計算》是小學第十冊的教學內容，讓學生利用小組合作的形式，積極參與討論操作實踐。有的小組從平行四邊形的角度推導，將兩個形狀大小完全一樣的梯形拼成一個平行四邊形；有的小組把一個梯形用剪拼的方法，也得到了平行四邊形；也有的小組從三角形的角度推導；還有的小組從長方形的角度推導。學生在小組合作中思考，把梯形通過移、拼、剪進行轉換，開拓思路，再利用信息技術，把學生將梯形分別轉換成平形四邊形、三角形、長方形的過程，用不斷閃爍的畫面展示出來，從中得到啟示，探究得出了梯形面積的計算公式。運用信息技術與數學的整合，使學生從「學習知識」變成了「研究問題」，從學習者變成了研究者，促使學生在課堂中不斷進行探索，有效地培養學生的創新思維能力。在課堂教學中，我們運用科學信息化教學手段，可以使課堂教學形象、具體、生動、直觀，有效地激發起學生的學習興趣，使具體畫面與抽象數學內容緊密聯系，最大限度地為學生創設和提供參與機會，使學生正確形成完整的科學體系和空間觀念，讓學生充分感受、理解知識產生和形成過程。激活學生的思維，給他們一個自主的空間，讓他們主動探究，主動去發現知識，掌握知識並運用知識，讓他們的數學思維能力在數學教學中得到充分的發展。

『貳』 求人教版小學數學四年級下冊導學案

五 年級數學上冊導學案
主備人： 審核人： 主人姓名： 班級： 本周訓練主題：
課題：容積和容積單位 課型：探究課 課時： 編號：【2011】050306
學習目標：1、理解容積意義,掌握常用的容積單位以及它們之間的進率。
2、掌握容積和體積的聯系與區別,知道容積單位和體積單位之間的關系。
3、感受1毫升的實際意義,和應用所學之事解決生活中的簡單問題。

重難點預設：建立容積和容積單位觀念,容積單位換算
學習過程：

憶一憶，說給你的對子聽一聽。
我們學過的體積單位有哪些？他們之間的進率是多少？

明確目標：請把學習目標學一學。
一、自主學習
自學課本50、51頁，然後回答下面的問題。
1、哪些物品上標有升、毫升？

2、什麼是容積？你能舉例說明嗎？

3、容積單位有哪些？容積單位和體積單位之間的關系是什麼？

4、長方體和正方體容器容積怎樣計算？

一、試一試：
一種小汽車上的油箱，裡面長5dm，
寬4dm，高2dm,。這個郵箱可以裝
汽油多少升？

二、同學們，你們已經會解決長方體和正方體的容器的容積了。那麼不規則物體的體積怎樣解決呢？自學例6吧，你會有新的收獲的!
自己試一試

（看誰摘得星星多）
一、 基礎類
1、 4L=( )ml 4800 ml=( ) L
2.4L=( )ml 500 ml=( ) L
2、一個長方體冰櫃，從裡面量長87.5cm，寬50cm，深56cm，它的容積式多少升？

二、 拓展
完成課本52頁做一做第2題。

方法提示：

寫完1、2、3、4要背一背喲！

認真思考，總結後寫下來

計算容器的容積，所有數據都要從容器裡面量

不規則物體的體積無法直接計算，可以藉助別的規則物體來測量。比如;水

『叄』 小學數學手抄報的知識。

師大版小學數學五年級（下冊）知識點
一單元：《分數乘法》
分數乘法（一）
知識點：1、理解分數乘整數的意義。分數乘整數的意義同整數乘法的意義相同，就是求幾個相同加數的和的簡便運算。
2、分數乘整數的計算方法。分母不變，分子和整數相乘的積作分子。能約分的要約成最簡分數。
3、計算時，可以先約分在計算。
分數乘法（二）
知識點：1、結合具體情境，進一步探索並理解分數乘整數的意義，並能正確進行計算。
2、能夠求一個數的幾分之幾是多少。
3、理解打折的含義。例如：九折，是指現價是原價的十分之九。
分數乘法（三）
知識點：1、分數乘分數的計算方法，並能正確進行計算。
分子相乘做分子，分母相乘做分母，能約分的可以先約分。計算結果要求是最簡分數。
2、比較分數相乘的積與每一個乘數的大小。
真分數相乘積小於任何一個乘數；真分數與假分數相乘積大於真分數小於假分數。
二單元：《長方體（一）》
長方體的認識
知識點：1、認識長方體、正方體，了解各部分的名稱。
2、長方體、正方體各自的特點。
頂 點 面 棱
個 數 個 數 形 狀 大小關系 條數 長度關系
8 6 都是長方形，特殊的有兩個相對的面是正方形，其餘四個面是完全一樣的長方形。 相對的面是完全一樣的長方形。 12 可以分為三組，相對的棱平行且相等。
8 6 都是正方形。 每個面都是正方形。 12 長度都相等。
3、知道正方體是特殊的長方體。
4、能計算長方體、正方體的棱長總和。
長方體的棱長總和=（長+寬+高）*4或者是長*4+寬*4+高*4
正方體的棱長總和=棱長*12
靈活運用公式，能求出長方體的長、寬、高或是正方體的棱長。
展開與折疊
知識點：1、認識並了解長方體和正方體的平面展開圖。
2、了解正方體平面展開圖的幾種形式，並以此來判斷。
長方體的表面積
知識點：1、理解表面積的意義。是指六個面的面積之和。
2、長方體和正方體表面積的計算方法。
3、能結合生活中的實際情況，計算圖形的表面積。
露在外面的面
知識點：1、在觀察中，通過不同的觀察策略進行觀察。
如:一種是看每個紙箱露在外面的面，再加到一起；另一種是分別從正面、上面、側面進行不同角度的觀察，看每個角度都能看到多少個面，再加到一起。
2、發現並找出堆放的正方體的個數與露在外面的面的面數的變化規律。
三單元：《分數除法》
倒數
知識點：1、發現倒數的特徵並理解倒數的意義。
如果兩個數的乘積是1，那麼我們稱其中一個數是另一個數的倒數。倒數是對兩個數來說的，並不是孤立存在的。
2、求倒數的方法。
把這個數的分子和分母調換位置。
3、1的倒數仍是1；0沒有倒數。
0沒有倒數，是因為在分數中，0不能做分母。
分數除法（一）
知識點：1、分數除以整數的意義及計算方法。
分數除以整數，就是求這個數的幾分之幾是多少。
分數除以整數（0除外）等於乘這個數的倒數。
分數除法（二）
知識點：1、一個數除以分數的意義和基本算理。
一個數除以分數的意義與整數除法的意義相同；一個數除以分數等於乘這個數的倒數。
2、掌握一個數除以分數的計算方法。
除以一個數（0除外）等於乘這個數的倒數。
3、比較商與被除數的大小。
除數小於1，商大於被除數；
除數等於1。商等於被除數；
除數大於1，商小於被除數。
分數除法（三）
知識點：1、列方程「求一個數的幾分之幾是多少」。
2、利用等式的性質解方程。
3、理解打折的含義。
如：打8折就是指現價是原價的十分之八。
數學與生活
粉刷牆壁
知識點：1、明確我們在粉刷教室牆壁時必須知道的條件。
2、根據實際情況進行計算相應的面積。
折疊：
知識點：1、體會立體圖形與展開圖形之間的關系，發展空間觀念。
2、能正確判斷平面展開圖所對應的簡單立體圖形。
四單元：《長方體（二）》
體積與容積
知識點：1、體積與容積的概念。
體積：物體所佔空間的大小叫作物體的體積。
容積：容器所能容納入體的體積叫做物體的容積。
體積單位
知識點：1、認識體積、容積單位。
常用的體積單位有：立方厘米、立方分米、立方米。
2、感受1立方米、1立方分米、1立方厘米以及1升、1毫升的實際意義。
補充知識點：冰箱的容積用「升」作單位；我們飲用的自來水用「立方米」作單位。
長方體的體積
知識點：1、結合具體情境和實踐活動，探索並掌握長方體、正方體體積的計算方法。
長方體的體積=長*寬*高
正方體的體積=棱長*棱長*棱長
長方體（正方體）的體積=底面積*高
2、能利用長方體（正方體）的體積及其他兩個條件求出問題。如：長方體的高=體積/長/寬
補充知識點：長方體的體積=橫截面面積*長
體積單位的換算
知識點：1、體積、容積單位之間的進率。
相鄰兩個體積單位、容積單位之間的進率是1000。
有趣的測量
知識點：1、不規則物體體積的測量方法。
2、不規則物體體積的計算方法。
五單元：《分數混合運算》
分數混合運算（一）
知識點：1、體會分數混合運算的運算順序和整數是一樣的。
分數混合運算（二）
知識點：整數的運算律在分數運算中同樣適用。
分數混合運算（三）
知識點：1、利用方程解決與分數運算有關的實際問題。
2、分數中的估算。
3、利用線段圖來分析題中的數量關系。
4、對最後結果的檢驗。
六單元：《百分數》
百分數的意義
知識點：1、百分數的意義。
百分數表示一個數另一個數的百分之幾。百分數也叫百分比、百分率。
2、能正確讀寫百分數。
3、結合生活中具體的例子理解百分數的意義。
合格率（百分數的應用一）
知識點：1、解決一個數是另一個數的百分之幾的實際問題。
這部分知識同分數除法中求一個數是另一個數的幾分之幾相同。
2、能正確地將小數、分數化成百分數。
小數化成百分數的方法：把小數化成百分數，只要把小數點向右移動兩位，同時在後面添上百分號；把分數化成百分數，可以先把分數化成小數（除不盡時，通常保留三位小數），再寫成百分數；也可以把分子分母同時乘一個數將其化成一百分之幾的數，再寫成百分數。
蛋白質含量（百分數的應用二）
知識點：1、求一個數的百分之幾是多少。方法同求一個數的幾分之幾是多少。
2、百分數化成小數、分數的方法。
百分數化成分數，先把百分數改寫成分數，能約分的要約成最簡分數。百分數化成小數時，要把百分號去掉，同時把小數點向左移動兩位。
這個月我當家（百分數應用三）
知識點：1、用方程解決「已知一個數的百分之幾多少，求這個數」的實際問題。
2、體會百分數與統計的關系。
數學與購物
估計費用
知識點：根據實際的問題，選擇合理的估算策略，進行估算。
購物策略
知識點：根據實際需要，對常見的幾種優惠策略加以分析和比較，並能夠最終選擇最為優惠的方案。
包裝的學問
知識點：1、探索多個相同長方體疊放後使其表面積最小的最有策略。
2、掌握解決問題的基本方法和過程。
七單元：《統計》
扇形統計圖
知識點：1、認識扇形統計圖，了解扇形統計圖的特點與作用。
2、能讀懂扇形統計圖，並能從中獲得相應的數學信息。
奧運會（統計圖的選擇）
知識點：1、了解條形統計圖、扇形統計圖、折線統計圖的特點。
條形統計圖便於看出數據的多少；扇形統計圖能清楚地看出整體與部分之間的關系；折線統計圖能看出數據的變化趨勢。
2、能夠根據需要選擇最為直觀、有效地統計圖表示數據。
中位數和眾數
知識點：1、中位數和眾數的意義。
將一組數據從小到大（或從大到小）排列，中間的數稱為這組數據的中位數。
一組數據中出現次數最多的數稱為這組數據的眾數。
2、中位數和眾數的求法。
將一組數據按大小的順序排列，如果是奇數個數據，中間的數就為這組數據的中位數，如果是偶數個數據，中間兩個數的平均數為這組數據的中位數。
眾數，就是一組數據中出現次數最多的，有可能是多個眾數。
3、能根據具體的問題，選擇合適的統計兩表示數據的不同特徵。
了解同學
知識點：綜合運用所學的統計知識，發展學生的統計觀念。

數學北師大版五年級下冊知識點羅列匯總表

單元 各單元目錄 對 應 知 識 點
第一單元
分數乘法 分數乘法（一） 1、分數乘整數「幾個幾分之幾是多少」的意義
2、分數乘整數的計算方法
3、解決相應的分數乘整數的實際問題
分數乘法（二） 1、分數乘整數「一個數的幾分之幾是多少」的意義
2、解決相應的分數乘整數的實際問題
分數乘法（三） 1、分數乘分數的意義
2、分數乘分數的計算方法
3、解決相應分數乘分數的實際問題
第二單元
長方體(一) 長方體的認識 1、長方體、正方體各部分名稱
2、長方體和正方體特點
3、解決運用長方體和正方體特點的相應問題
展開與折疊 1、長方體、正方體的展開圖，
2、對長方體、正方體特點的再認識
長方體的表面積 1、長方體、正方體的表面積
2、長方體、正方體表面積的計算方法
3、解決運用長方體和正方體表面積的相應問題
露在外面的面 1．解決有關物體外露面的個數及面積的問題
第三單元
分數除法 倒數 1．倒數的意義
2．求一個數的倒數
分數除法（一） 1、分數除以整數的意義
2、分數除以整數的計算方法
3、解決相應分數除以整數的的實際問題
分數除法（二） 1、整數除以分數的意義
2、一個數除以分數的計算方法
3、解決相應一個數除以分數的的實際問題
分數除法（三） 1、解簡單的分數方程：ax=b
2、用方程解決簡單的有關分數的實際問題
數學
與生活 分刷牆壁 1、綜合應用圖形的面積、計算解決生活中的問題
折疊 1、立體圖和平面展開圖之間的關系
2、判斷平面展開圖所對應的簡單立體圖形
第四單元
長方體(二) 體積和容積 1、體積的含義
2、容積的含義
體積單位 1、體積單位：立方米、立方分米、立方厘米
2、容積單位：升、毫升
1、長方體、正方體的計算方法
長方體的體積 2、解決長方體正方體的體積的實際問題
體積單位的換算 1、體積、容積單位之間的進率
2、體積、容積單位之間換算。
有趣的測量 1、不規則物體體積的測量方法
第五單元
分數混合運算 分數混合運算(一) 1、分數混合運算順序
2、「求一個數是另一個數的幾分之幾」的混合實際運用
分數混合運算(二) 1、分數混合運算律
2、「求一個數比另一個數多（少）幾分之幾」的混合實際運用
分數混合運算(三) 1、解稍復雜的分數方程：ax±b=c，ax±bx=c，
2、利用方程解決與分數運算有關的實際問題
百分數 百分數的認識 1、百分數的意義
2、正確讀寫百分數
合格率 1、小數、分數化成百分數
2、合格率、成活率、出勤率等的意義
3、求「一個數是另一個數的百分之幾」的實際運用
蛋白質含量 1、百分數化成小數、分數
2、求「一個數的百分之幾是多少」的實際運用
這月我當家 1、百分數與統計的聯系
2、「已知一個數的百分之幾是多少，求這個數」的實際運用
3、用方程解決有關百分數的簡單實際問題
數學
與購物 估計費用 1、選擇合理的估算策略
購物策略 1、根據實際需要，比較常見的幾種優惠策略
包裝的學問 1、多個相同長方體疊放後使其表面積最小的最優策略
這些是知識點，你抄上吧。花邊可以畫的好看、簡單一點

『肆』 求一份小學五年級的數學試卷，不要太多。

小學五年級數學試題
五年級期中試卷
一、填空題（20分）
1、在1、2、8、17、18、34、97、37、57、84這些數中：（ ）是奇數，（ ）是偶數。（ ）是質數，（ ）是合數。
2、 表示把（ ）平均分成（ ）份，表示這樣（ ）的數；也可以把（ ）平均分成（ ）份，表示這樣（ ）份的數。
3、（ ）既不是質數也不是合數，（ ）既是質數又是偶數。
4、7040立方厘米=（ ）立方分米 3045毫升=（ ）升（ ）毫升27立方分米 = （ ）升 9立方米 = （ ）立方分米
5、在 中填上適當的數，使得71 能被2整除， 17 4有約數3， 42 是5的倍數。
6、把48分解質因數是（ ）。
7、A=2×2×3×5 B=2×2×2×3 A與B兩數的最小公倍數是（ ），最大公約數是（ ）。
8、棱長之和為108厘米的正方體，它的表面積是（ ）平方厘米，體積是（ ）立方厘米。 9、12個小方塊，平均分成4份，每份有（ ）塊，每份占總數的（ ）。 10、把、和三個分數，按照從小到大的順序排列（ ）。 二、選擇題（在括弧里填上正確答案的序號）（16分） 1、在下面的式子里能整除的的是：（ ）
A 42÷0.7 B 2.5÷5 C 48÷12 D 12÷48 2、42的全部約數中，質數有：（ ）
一個 B 二個 C 三個 D 四個
3、用棱長1厘米的正方體木快，拼一個大正方體，至少要用這樣的正方體木快（ ）快 A 二個 B 四個 C 八個 D 九個 4、甲數是乙數的4倍，甲乙兩數的最小公倍數是（ ） A 甲數 B 乙數 C 4 D 甲數×乙數 5、水桶佔地面積多大，是指水桶的（ ） A 表面積 B 體積 C 容積 D 底面積
6、一根4米長的圓木，平均鋸成7段，每段是全長的（ ） A B 米 C D 米
7、能同時被2、3、5整除的自然數，其個位上一定是（ ） A 0 B 1 C 2 D 5 8、正方體的棱長擴大3倍，它的體積擴大（ ）倍 A 3 B 9 C 36 D 27
三、判斷題（正確的在括弧里填「√」，錯誤的填「×」）（8分） 1、3是約數，12是倍數。 （ ） 2、1千米的等於4千米的。 （
3
、體積是
1
立方米的正方體，它的棱長是
1
米。

（

）

4
、兩個數的最大公約數一定比這兩個數中任何一個小。

（

）

5
、一個分數的分子表示它分數單位的個數，分子是
7
，表示有
7
個分數單位。

（

）

6
、因為
1
米
=100
厘米，所以
1
立方米
=100
立方厘米。

（

）

7
、互質的兩個數，必定都是質數。

（

）

8
、五（
1
）班有學生
40
人，其中男生有
27
人，女生佔全班人數的

（

）

四、計算（共
24
分）

1
、求下面個組數中的最大公約數（
6
分）

14
和
35
22
和
33
17
和
7

2
、求下面各組數的最小公倍數（
6
分）

7
、
14
和
35
12
、
15
和
60
3
、
4
和
9

3
、計算下面各長方體和正方體的體積和表面積（
12
分）

（略）

五、應用題（
30
分）

1
、某電器廠
2002
年電腦產量如下

季度第一季度第二季度第三季度第四季度

產量（萬台）
25282930
（
1
）平均每一季度生產多少萬台？

（
2
）平均每月生產多少萬台？（得數保留一位小數）

2
、一個無蓋的長方體木箱，長
1.2
米，寬
0.8
米，高
0.6
米。做這個木箱至少要用多少平方米的木扳？

3
、一種汽車上的油箱，裡面長
8
分米，寬
5
分米，深
4
分米。如果一升油重
0.8
千克，這個油箱能裝油多少千克？

4
、果園里種有梨樹、桃樹。已知梨樹有
43
棵，桃樹有
51
棵。梨樹的棵數是桃樹的幾分之幾？桃樹的棵數是總棵數
的幾分之幾？

5、把一個棱長是0.5米的正方體鋼坯，鍛成橫截面面積是10平方分米的長方體鋼材。鍛成的鋼材有多長？（用方程解答）
思考題（10分）
一個長方體的長16分米，高6分米，如果沿著水平的方向把它橫切成兩個小長方體，那麼表面積增加160平方分米，求原來長方體的體積？

『伍』 關於容積和體積的小學數學題

1、用水的體積除以甲乙兩個底面積的和，
2、用鐵塊的底面積乘以24。用這個體積除以容器底面積
得到水下降的高
再用24減去得到的結果，即是答案。

『陸』 怎麼證明圓的面積公式用小學方式

圓面積s=7(d/3)²

人們都清楚的認識到：正6邊形1次倍邊成的是正12邊形、2次倍邊成的是正24邊形、3次倍邊成的是正48邊形、……n次倍邊成的就給它叫正6×2ⁿ邊形(簡稱正n邊形)。「正n邊形的周長與過中心點的對角線之比(是3.1415926……比1)叫做正n邊率」。(n是一個不可丟失或忽略的0、1、2、3…無限無窮大的無極限的自然數)。

由於n是表示無限無窮大的無極限的自然數，所以正n邊率(3.1415926……所謂π值)也是一個無限無窮大無極限的數。

當圓的直徑與正n邊形過中心點的對角線重疊時，雖然直徑和對角線的長短相等。但是二者的周長並沒有重疊，只是近似、接近、趨近或相當於就是不等於。原因是任一條線上的點都是無限的，內接正n邊形周長上的點也就永久都不會與圓上的點完全重疊，

若內接正n邊形與圓分開，那麼求正n邊率還依然是正n邊率、求圓周率也依然是圓周率。

正n邊率不等於圓周率；圓周率也不等於正n邊率。

因為圓周率是指：「圓周長與直徑的比」，它們的比是6+2√3比3；而正n邊率是指：「正n邊形的周長與過中心點的對角線的比」，它們的比是3.1415926……比1。

為此，正n邊形的周長公式2πR只是代替圓周長公式，並非等於圓周長；正n邊形的面積公式πR²只是代替圓面積公式，並非等於圓面積。

從客觀上講：圓是圓，正n邊形是正n邊形。當正n邊形套上外接圓時，用圓內接正n邊形的周長公式2πR來計算周長、周長必然小於圓周長；當圓套上外切正n邊形時，用圓外切正n邊形的面積公式πR²來計算面積、面積必然大於圓面積(注意：其實πR²是圓的外切正n邊形面積與長方形面積的相互等積轉化，並非圓面積與長方形面積的相互等積轉化)。

為此π取正n邊率的同一個值時，會給公式2πR和πR²存在著：π要想滿足公式2πR,就會背離公式πR²；π要想滿足公式πR²,就會背離公式2πR的自相矛盾的問題。

根據愛因斯坦的「相對論」原理推出：「物質與物質聚集結合成一個(固、液、汽)整體叫物體；一個被空間包圍著的物體的大小所含單位立方的多少叫做體積。非物質與非物質聚集結合成一個完整的真空叫空間；一個被物體包圍著的空間的大小所含單位立方的多少叫做容積。」

由於物體與空間的區別是物質與非物質的區別，所以宇宙是由物質和非物質構建的、是物體和空間共同占據了大自然。

因此, 世上所有物體和所有空間都是與生俱有相對共存的。二者靜止狀態下，根本就不存在「物體占據空間或空間占據物體」的問題。只有物體與空間以等量的一個物體體積與一個空間容積對換位置、產生物體與空間互動，才會出現「物體占據空間的同時、空間又占據了物體」。因為物體體積和空間容積是相對的，所以體積與容積也是相對的。二者缺一不可，否則物體就無法運動或搬運。

由於體積與容積相對的最小極限是零(也就是幾何點是指：零體積或零容積、零面積或零空積、零長度或零距離的零點)；而物體的體積與空間的容積都大小無限不為零，(也就是：體積或容積、面積或空積、長度或距離都大於零)不存在最大或最小，大小無極限。

所以無限等份幾何中的體、面、線的每個無窮小依然是一個無限無窮小，無極限。無限無窮小就是無限無窮小，無限無窮小不等於最小的極限零點。

以上是「相對論」當中《正負幾何論》與「極限」的冰山一角。

因此，過去人們等份圓面、來等積轉化拼成長方形面的起點就是一個誤解。也就是圓面積s不等於長方形面積πR²，確切的講：「圓面積s=7(d/3)² 」(d表示直徑)。π取3.1415926……也不是圓的周長與直徑的比，准確的說：「它是正n邊形的周長與過中心點的對角線的比」。

那麼，為什麼說：「圓面積等於直徑三分之一平方的七倍」呢?

這得要從軟化等積變形說起。

例如：一塊長7米、寬1米、高1米的長方體橡皮泥，它的上面或下面的長方形面積分別都是7平方米。當7立方米的長方體橡皮泥等積變成高1米的一個圓柱體時，它的上底或下底圓面積會依然是7平方米。也就是一個7平方米的長方形面積軟化等積變成了一個7平方米的圓面積。如果把1個單位長用a表示，那麼一個7平方米的圓面積就是7a² 。為此任一個圓面積S都可以看做為7a²。

向左轉|向右轉

下面由棋盤上的每個方格為一個a²來分析：七個a² 軟化等積變成一個(圖-1)圓面積是7a²；圓面積7a²再軟化等積變成一個(圖-2)H形面積也是7a²；在(圖-2)H形上，另外增加兩個a²就拼成了一個(圖-3)大正方形面積9a²；把這三個圖形稱為(上三圖)。它們各自面積的大小都是一同隨著a的大小變化著的。

一個棋子為一個圓點,七個棋子就是七個圓點,圓點的直徑Q叫點徑。中間一個圓點,外圍六個圓點，圍繞一周排列相切構成一個(圖-4)圓形輪廓,輪廓的外切圓面積是s、直徑是3Q；再由七個圓點排列相切構成一個(圖-5）H形輪廓,輪廓的外切H形面積是7Q²；最後用九個圓點排列相切構成一個(圖-6)正方形輪廓,輪廓的外切正方形面積是9Q²。把這三個圖形稱為(下三圖),它們各自外切形面積的大小都是一同隨著點徑Q的大小變化著的。

以上六個圖形不難看出：

(圖-1)圓面積7a²和(圖-2)H形面積7a²分別都是(圖-3)大正方形面積9a²的九分之七，(圖-4)外切圓是(圖-6)外切正方形的內切圓。

從六個圖形的上下對著看：由於，第一組、（圖-1）圓與(圖-4）外切圓相似；第二組、(圖-2)H形與(圖-5)外切H形相似；第三組、(圖-3)大正方形與（圖-6）外切正方形相似。所以它們每一組相似形的面積和面積是否相等,都與a和Q有關；或a和Q是否相等,都與每一組相似形的面積和面積有關。

當a=Q時，很明顯：第二組和第三組的相似形都是：a和Q相等，相似形的面積與面積就相等(7a²=7Q²、9a²=9Q²)；或相似形的面積與面積相等(7a²=7Q²、9a²=9Q²)，a和Q就相等。

但第一組相似形是否a和Q相等、面積與面積就相等呢？

這得需要通過數據來推理證實：

已知：(圖-4)外切圓面積s是63平方厘米、a和Q又相等。此時(圖-4)這個63平方厘米的圓面積，它既鎖定了(下三圖)各自對應的面積也鎖定了(上三圖)各自對應的面積。

因為a等於Q，所以(圖-4) 63平方厘米的一個圓既是（圖-6）正方形的內切圓也是(圖-3)大正方形的內切圓。為此（圖-6）和(圖-3)的內切圓面積也分別都是63平方厘米。

由於(圖-3)大正方形能做為63平方厘米的圓的外切正方形，是根據大正方形的邊長3a等於內切圓的直徑3Q(內切圓的直徑3Q又是根據63平方厘米的圓面積產生的)。

所以(圖-3)內切圓面積的任意大小，都會改變(圖-3)大正方形的邊長3a的大小，使邊長3a不等於63平方厘米的圓的直徑3Q，(圖-3)大正方形也就不能做為63平方厘米的圓的外切正方形。

如果(圖-3)內切圓面積大於63平方厘米，那麼(圖-2) 7a²的H形和(圖-3)9a²的大正方形就會同時對應變大(7a²>7Q²、9a²>9Q²)。顯示出9a²的大正方形向外擴展，脫離了已知63平方厘米的內切圓)，產生邊長3a大於直徑3Q，違背了a等於Q。

如果(圖-3)內切圓面積小於63平方厘米，那麼(圖-2) 7a²的H形和(圖-3)9a²的大正方形就會同時對應變小(7a²<7Q²、9a²<9Q²)。顯示出9a²的大正方形向內收縮，也會脫離了已知63平方厘米的內切圓，產生邊長3a小於直徑3Q，也違背了a等於Q。

因此，只有(圖-3)內切圓面積等於(圖-4)外切圓面積63平方厘米，才能7a²=7Q²、9a²=9Q²，使9a²的大正方形作為63平方厘米的圓的外切正方形。同時大正方形的邊長3a也等於內切圓的直徑3Q，保持a與Q相等。所以(圖-3)大正方形的大小是根據已知63平方厘米的內切圓確定的。

由此可見：對任一個圓面積的大小都是如此。當(圖-1)圓與(圖-3) 63平方厘米的內切圓重疊時。

如果(圖-1)圓面積7a²大於63平方厘米，那麼(圖-2) 7a²的H形和(圖-3)9a²的大正方形就會同時對應變大(7a²>7Q²、9a²>9Q²)。顯示出9a²的大正方形向外擴展，脫離了已知63平方厘米的內切圓，產生邊長3a大於直徑3Q，出現a也大於Q。

如果(圖-1)圓面積7a²小於63平方厘米，那麼(圖-2) 7a²的H形和(圖-3)9a²的大正方形就會同時對應變小(7a²<7Q²、9a²<9Q²)。顯示出9a²的大正方形向內收縮,也會脫離了已知63平方厘米的內切圓,產生邊長3a小於直徑3Q，出現a也小於Q。

因此，只有(圖-1)圓面積7a²等於(圖-3)內切圓面積63平方厘米，才能7a²=7Q²、9a²=9Q²，使9a²的大正方形作為63平方厘米的圓的外切正方形。同時正方形的邊長3a也與63平方厘米的圓的直徑3Q相等，保持a等於Q。所以(圖-1)圓面積7a²的大小是根據(圖-3)內切圓面積確定的。

證實了：(圖-1)圓面積7a²等於(圖-4)外切圓面積s。也說明了：「圓面積是它外切正方形面積的9分之7」。

因為圓面積S=7a²，所以a=√s/7. 也就是說：如果(圖-3)正方形的內切圓面積是7平方厘米，那麼a=√7/7=1厘米。如果(圖-3)正方形的內切圓面積是28平方厘米，那麼a=√28/7=2厘米。如果(圖-3)正方形的內切圓面積是63平方厘米，那麼a=√63/7=3厘米。

上述證明了：第一組相似形同樣是：a和Q相等、相似形的面積與面積就相等。

為此，推出它們三組相似形：每一組相似形的面積和面積相等,a和Q就相等；或a和Q相等,每一組相似形的面積和面積就相等。

同時也發現了這樣一部公理：「如果圓面積是7a²，那麼它的外切正方形面積就是9a²」。

根據公理推出定理：「圓面積等於直徑三分之一平方的七倍」。

圓的面積公式：∵s=7a². d=3a.

∴s=7(d/3)². 向國慶「70」周年獻禮！

HPFYKG 一位不識字的數學發現 dongjingui二〇一四年六月二十七日

『柒』 小學數學立體圖形認識的判斷題

在不計物體厚度的情況下，物體的容積和它的體積相等，它們計算方法相同。
判斷題沒給出厚度不計的條件，判斷錯誤。

『捌』 關於容積和體積的小學數學題

1、用水的體積除以甲乙兩個底面積的和，

2、用鐵塊的底面積乘以24。用這個體積除以容器底面積
得到水下降的高
再用24減去得到的結果，即是答案。