A. 小學數學教學中如何應用數形結合思想的研究
一、研究背景：數學是研究客觀世界的空間形式與數量關系的科學，數是形的抽象概括，形是數的直觀表現。華羅庚先生指出，數缺形時少直觀，形少數時難入微。數形結合既是一個重要的數學思想，又是一種常用的數學方法。數形結合在數學解題中有重要的指導意義，這種「數」與「形」的信息轉換，相互滲透，即數量問題和圖象性質是可以相互轉化的，這不僅可以使一些題目的解決簡捷明快，同時還可以大大開拓我們的解題思路，為研究和探求數學問題開辟了一條重要的途徑。長期以來，在教學中數學知識是一條明線，得到數學教師的重視；數學思想方法是一條暗線，容易被教師所忽視。在我們的小學數學教學中，如果教師能有意識地運用數形結合思想來設計教學，那將非常有利於學生從不同的側面加深對問題的認識和理解，提供解決問題的方法，也有利於培養學生將實際問題轉化為數學問題的能力。「數形結合」對教師來說是一種教學方法、教學策略，對學生來說是一種學習方法，如果長期滲透，運用恰當，則使學生形成良好的數學意識和思想，長期穩固地作用於學生的數學學習生涯中。作為一線教師，如何系統的運用數形結合思想進行數學教學，是我們面臨的一個極富實踐價值的重要課題。二、研究價值：1、通過組織、實施本課題的研究，提高教師對數形結合思想的理解，加深對教材中數形結合思想的分析能力。能在平時的教學中，時刻注意滲透數形結合思想，提升教師自身的專業素養。2、通過組織、實施本課題的研究，提升學生的思維水平，提高學生應用數形結合思想解決實際問題的能力，以適應未來社會發展的需要。三、研究目標： 1、教師有意識地運用數形結合思想進行教學設計，化抽象為形象，創造性地開發課程資源，有效地提高課堂教學質量。 2、研究「數形結合」在小學數學四至六年級領域中的應用，分階段、有層次的滲透數形結合思想。 3、通過「數形結合」有效地提高學生學習數學的興趣，使數形結合成為學生重要的學習方法，能運用數形結合創造性地解決抽象的數學問題。在不斷地「探索」與「創造」中構建屬於個人的數學思想。四、概念界定：1、數形結合：「數」和「形」是數學中兩個最基本的概念，「數」，屬於數學抽象思維范疇，是人的左腦思維的產物；而「形」主要指幾何圖形，屬於形象思維范疇，是人的右腦思維的產物。它們既是對立的，又是統一的，每一個幾何圖形中都蘊含著與它們的形狀、大小、位置密切相關的數量關系；反之，數量關系又常常可以通過幾何圖形做出直觀地反映和描述。數形結合的實質就是將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，使抽象思維和形象思維結合起來，化難為易，化抽象為直觀．使人充分運用左、右腦的思維功能，相互依存、彼此激發，全面、協調、深入發展人的思維能力。2、數形結合思想：所謂數形結合思想，其實質是將抽象的數學語言與直觀的圖像結合起來，就是根據數與形之間的對應關系，通過數與形的相互轉化來解決數學問題的思想，是一種可使復雜問題簡單化、抽象問題具體化的常用的數學思想方法。主要有以下幾種解題思路：（1）以「數」變「形」；（2）以「形」變「數」；（3）「形」「數」互變。3.「滲透」指某種思想方法在某個實踐過程中逐漸的滲入利用，這里主要指在小學數學課堂教學中逐步滲透數形結合思想方法。五、研究內容：1、數形結合思想在「數與代數」知識領域中的應用。2、數形結合思想在「空間與圖形」知識領域中的應用。3、數形結合思想在「統計與概率」知識領域中的應用。4、數形結合思想在「實踐與綜合運用」知識領域中的應用。六、研究思路：1、學習查找相關理論資料；2、開始分年級教師進行具體研究；3、在具體的實踐中進一步完善研究內容和研究措施；4、最後對研究效果進行提升，形成課題成果報告。七、研究方法：1.調查法：調查當前小學數學教師對數形結合思想在教學中滲透的認識，調查當前學生對數形結合思想來解題的認識狀態。2、文獻研究法：收集、學習、整理有關滲透數學思想方法以及數形結合思想的相關文獻資料並加以分析，以供實驗研究。3、案例研究法：選擇不同領域的教學內容（數與代數、空間與圖形、統計與概率、實踐與綜合運用）中的素材，作為案例進行分析研究，尋求在不同數學學習領域中有效滲透數形結合思想的途徑與模式。4、經驗總結法：把實驗過程中積累的經驗加以總結、歸納並在實驗過程中加以論證。
B. 如何在小學數學教學中滲透數形結合思想
1 以形促思，在數的認識教學中，滲透數形結合思想方法，幫助學生很好地建立數感數感是一種主動、自覺或自動化的理解數和運用數的態度和意識，是對數學對象、材料直接迅速、正確敏感的感受能力。《數學課程標准》指出：「數感主要表現在理解數的意義；能用多種方法表示數。」例如教學《10 的認識》時，我請小朋友們認真觀察圖，從圖中你知道了什麼？讓學生利用數數的經驗上台現場數數後，學生明白10 個人、10 只鴿子都可以用數字10 表示。接著讓學生擺小棒操作，知道一捆就是1 個十，所以10 個1 是十。接著我讓學生找一找生活中哪些物體的個數可以用數字10 表示。最後讓「10」寶寶參加數字排隊隊，0～9這幾個數字寶寶已經按從小到大的順序排好隊了（出示尺子圖），10 應該排在哪兒？請計數器來幫忙。學生動手操作先拔8 顆，再添一顆是幾顆（使生能直觀感覺到9 比8 多1）？9 顆再添上一顆是幾顆？10 顆再去掉一顆是幾顆（使生感覺到10 比9 多1）？10 應該排在哪兒？回到尺子圖，讓生猜猜9 的後面是幾？請生分別按從小到大、從大到小的順序讀0～10 這幾個數字。在以上教學中，我巧妙滲透數形結合的思想方法，使學生在對具體數量的感知和體驗中，進一步強化了數感，加深了對數的意義的認識。
2 借形理解，在概念教學中，加強實驗操作，滲透數形結合思想方法，使學生直觀地理解概念數學概念是知識教學中的重要組成部分，在概念教學中，僅闡明其實際意義是不夠的，還應從事物的整體、本質和內在聯系出發，對概念進行進行全面分析，突出其本質屬性，但它的抽象性、枯燥性使得教學效果不盡如人意，學生學起來比較困難。藉助直觀的圖形、加強實驗操作可以將概念教學趣味化、形象化，從而幫助學生在輕松、愉快的學習氛圍中理解概念的形成過程。
例如：在《認識體積》的教學中，我通過3 個步驟滲透數形結合的思想方法，讓學生借形直觀地理解概念：2.1 通過實驗，使學生體會到物體是佔有空間的。教師出示兩個一樣的杯子，左邊的盛滿水，右邊的放了一個柑果。請同學們猜猜，如果把左邊杯子里的水倒入右邊的杯子，結果會怎樣？學生猜測，並通過實驗來驗證猜測是否是對的。學生倒水操作明白：原來兩個杯子裝的水是一樣多的，現在放進去一個柑果，杯中有一部分空間被柑果佔去了，能裝水的空間就少了。使學生體會到物體佔有一定的空間。
2.2 通過實驗，使學生體會到物體所佔的空間是有大有小的。出示兩個完全一樣的玻璃杯：一個杯子里放的是柑果，另一個杯子里放的是葡萄，如果往這兩個杯子里倒水，倒進哪個杯里的水會多一些？學生猜測並再次實驗操作，驗證猜想：兩個杯子能裝的水同樣多，柑果占的空間大，因而相應杯中的水就少；葡萄占的空間小，因而相應杯中的水就多。
2.3 揭示體積的含義。出示3 個大小不同的水果，這3 個水果，哪一個占的空間大？把它們放在同樣大的杯中，再倒滿水，哪個杯里水占的空間大？學生實驗操作，明確：物體是佔有空間的，一個物體越大，它佔有的空間就越大，反之，一個物體越小，它佔有的空間就越小。我們把物體所佔空間的大小叫做物體的體積。學生舉生活實例比較兩個物體體積的大小，認識體積，我通過三部教學，加強實驗操作，滲透數形結合思想方法，學生不僅借形直觀地理解概念，而且能夠應用概念。
3 看形想量，結合「量的計量」的教學滲透數形結合思想方法，幫助學生建立質量觀念數學的主要研究對象是數與形。但在現實生活中，數與形和量與計量總是密切聯系著的，學習數學必然要涉及量與計量。如何在量與計量中滲透數形結合呢？
例如《千克的認識》教學：①認識秤和秤面。觀察秤面從秤面上看到了什麼？②建立1 千克的質量觀念。a.掂一掂，初步體驗一千克的重量。分小組稱一稱2 袋鹽，通過觀察發規2 袋鹽重1 千克。b.猜一猜，再次體驗1 千克的重量。先猜一猜幾個這樣的蘋果、桔子、桃子重1 千克，最後稱一稱，數一數1 千克這樣的果到底有幾個？c.比一比，加深對一千克的認識。師出示一個重2 千克大米，讓幾名學生拎一拎，說說感覺，猜猜重多少千克，通過比較進一步加深對1 千克的體驗。
建立「千克」這個計量單位的觀念，對學生來說比較抽象，滲透數形結合的思想方法，學生就很容易建立「千克」的表象，並能運用。
4 看數畫形，在解決問題教學中，滲透數形結合思想方法，使解題過程具體化、明朗化數學家華羅庚曾說：「人們對數學早就產生了乾燥無味、神秘難懂的印象，成因之一便是脫離實際。」數形結合的思維方法，便是理論與實際的有機聯系，是思維的起點，是兒童建構數學模型的基本方法。
例如學生初步認識分數時，通過數形結合的對應思想，幫助學生構建了整體「1」與部分量之間的關系，在各種圖形的運用中，線段圖的使用顯得更為清晰方便，使學生能夠一目瞭然地獲取相關的信息和問題，直觀形象地了解到各信息與問題之間的數量關系。
氣象小組有12 人，攝影小組的人數是氣象小組的13 ，航模小組的人數是攝影小組的34 。航模小組有多少人？很多學生在讀完題後顯得較為迷茫，覺得有些混亂，不知道從何開始思考，這時我引導他們與老師一起嘗試用線段圖來表示三者之間的數量關系。
運用數形結合畫出圖形，幫助學生分析數量關系，揭示本質，有助於學生邏輯思維與形象思維協調發展，相互促進，提高學生的思維能力，而且有助於培養學生的創新思維和數學意識，並能正確解題。攝影小組：12×13=4（人），航模小組：4×43=3（人）。
5 看「數」想「形」，在幾何與圖形教學中，滲透數形結合思想方法，使學生的空間觀念得到培養在教學中我們都知道，雖然「形」有形象、直觀的優點，但在定量方面還必須藉助「數」來計算。
例如練習題：把一根長20 厘米，寬5 厘米，高3 厘米的長方體木料沿橫截面鋸成2 段，表面積增加多少？這樣的題目一出現，學生就無從下手，不知道應該怎樣計算？這時我就利用看「數」想「形」的數形結合思想，引導學生經歷三個空間觀念的建立解題過程：動手操作，畫出一個長方體，才長方體上切2 段，看看錶面積多了幾個面，多的這幾個面的面積合起來就是表面積增加的部分———教師實物操作，讓學生驗證自己所切的面是否與老師操作的一樣———抽象概括，使物體的整體模型印刻在腦海中，從而空間觀念在活動體驗中得到培養和形成。
6 數形結合、數形互用，學生的思維能力得到提升在實際教學中，數和形往往是緊密結合在一起，相互並存的。數形結合、數形互用往往會啟發學生展開發散思維。經過長期發散思維訓練的學生，解題方法多樣，思維靈活多變，往往能在發散的基礎上產生奇特的思路，從而使解法變得十分簡明扼要而且巧妙。
C. 課題小學數學課怎樣體現數形結合的思想
「數」與「形」是貫穿整個小學數學教學始終的基本內容,也是小學階段的一種重要的數學思想.根據多年的經驗淺談一下在教學中有效滲透數形結合的思想.關鍵詞：小學數學；數形結合；實施策略數形結合思想是根據數與形之間的對應關系,通過數與形的相互轉化,將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來解決問題的思想方法.
D. 淺談如何培養小學生的數形結合意識
數學是研究現實世界數量關系與空間形式的一門科學, 數與形的統一結合貫穿於數學學科研究與發展的始終。數和形是數學研究的兩大對象，數形結合法是一種重要的數學思想方法。數是指數據與式子，主要表現在以下幾方面：函數、方程、不等式、數列、復數、排列組合等。形可以理解為幾何圖形。採用數形結合法去解數學題，就是對題目中的條件與結論，既分析其代數含義又分析其幾何含義。力圖將代數和幾何統一起來去找出解題思路。數形結合是數學中的一種重要思想與解題策略, 利用數形結合這一思想, 可以較直觀地對問題進行分析, 解決許多比較抽象的數學問題。因此, 通過數形結合能很好地解決一些問題, 對培養學生的解題能力非常重要。一、滲透數形結合思想，提高學生的數學素養素質教育是通過科學有效的途徑，開發受教育者的潛能，以完善和全面的提高學生素質為根本目的教育。數學素質在人的素質養成上具有不可替代的作用。這是因為數學的直觀思維、邏輯推理、精確計算以及結論明確無誤等特徵是每個學生應該具備的科學文化素質。由此可見，對數學教師來說，要突出素質教育的數學教學關鍵是加強數學思想方法的教學，因為數學思想方法作為數學知識的精髓，它既是數學中的深層次的基礎知識，又是解決問題和思維策略。數學思想方法掌握的深、淺度，直接關繫到能否順利或比較簡捷地解決問題；關繫到是否深刻地對數學知識本質認識，數學規律的理性認識；關繫到是否能把某些數學內容和對數學的認識過程中提煉上升的數學觀點加以應用。而這些數學知識的掌握是以解題思維能力作為起點的。因此，在中學數學教學中，如何引導學生選擇恰當的方法來提高解題速度和效率，應注重培養學生解題能力，掌握多種方法。尤其數形結合法的教學更是學生應該熟練掌握的重要思維方法。數形結合是解決數學問題的重要思想，其實質是把抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，以直觀輔助抽象的思考，以抽象的思考研究直觀的細節。著名數學家華羅庚先生說過:數無形，少直觀；形無數，難入微。發掘數與形互相依存的關系，把數式運算的周密性和圖形的直觀性巧妙結合起來，對解決數學問題非常有益，它常能有效突破解題障礙，順利溝通已知和未知，使問題由繁化簡，由難化易。數形結合思想方法是中學數學基礎知識的精髓之一，是把許多知識轉化為能力的橋。在中學數學教學中，許多抽象問題學生往往覺得難以理解，如果教師能靈活地引導學生進行數形結合，轉化為直觀、易感知的問題，學生就易理解，就能把問題解決，從而獲得成功的體驗，增強學生學習數學的信心。尤其是對於較難問題，學生若能獨立解決或在老師的啟發和引導下把問題解決，心情更是愉悅，這樣，就容易激發學生學習數學的熱情、興趣和積極性。同時，學生一旦掌握了數形結合法，並不斷進行嘗試、運用，許多問題就能迎刃而解。二、在數學教學中滲透數形結合思想本文特從以下幾個方面，對數形結合』解題進行例析研究。1幾何圖形與數量關系相結合幾何中的計算與證明問題，常常根據幾何圖形的特點挖掘蘊涵的數量關系；一些數量關系的比較問題，常常構造出由數量關系反映出的幾何圖形，根據圖形的直觀性尋求解決。2函數圖象與數量關系相結合數軸使實數與數軸上的點建立起一一對應的關系，平面直角坐標系使有序實數對與平面上的點建立起一一對應的關系，為數形結合創造了充分的條件函數圖象在直角坐標系的位置及變化趨勢，為研究函數的性質提供了直觀、形象的依據，反過來，依據函數的性質又能推斷函數圖象在直角坐標系屮的位置及變化情況，數形結合成為研究解決函數問題的重要思想方法。3圖形的運動變化與函數問題的結合函數建立起兩個變數之間的關系，運動變化便進入了數學，運動改變了圖形的位置、形狀，其中蘊涵的數量關系也會發生變化，研究圖形運動變化體現出來的函數關系，使數形結合更具活力，更豐富多彩。 4 注重數學思想方法的教學加深認識，讓學生親自參與知識發現的過程。恩格斯說：世界不是一成不變的事物的集合體，而是過程的集合體。對於數學而言，知的發生過程就是思維方法的產生過程，因此教師在平時的教學過程中，應切實加深學生對知識的認識，讓學生親自去參與知識發現的過程，揭示事物的本質特徵。數學學習貫穿著兩條主線，即數學知識和數學思想方法，通性通法蘊涵著豐富的數學思想和方法，更貼近學生的認知水平，符合常人的思維習慣，同樣也有利於培養學生的數學能力。在初中數學中，常用的數學思想有函數和方程思想、數形結合思想分類討論論思想、化歸轉化思想、整體處理思想等，上面教學片斷的探究題，教者通過引導學生從數和形的角度來解決問題，很好地發展了學生的方程思想和數形結合思想，同時也滲透了數學分類的思想方法。在平時的教學中，我們應在解決問題的過程中，對這些數學思想加以揭示、運用和提煉，以提高學生的思維水平和解題能力。人常說，數學是鍛煉思維的體操，恐怕就是因為
E. 結合自己的教學實踐談一談數形結合思想在小學數學教學中的滲透與應用
數形結合不僅是一種數學思想，也是一種很好的教學方法。著名數學家華羅庚先生曾經說過：「數缺形時少直觀，形少數時難入微」。在教學中，許多算理學生模稜兩可，如能做到數形結合，學生便可透徹地加以理解。如在教學《異分母分數加減法》時，我們利用數形結合使學生體會「通分」的必要性，理解異分母分數加減法的算理，突破教學難點。
在例題講解後的回顧過程教師問道：
(1)讓我們一起回顧一下用通分的方法計算這三道題的過程，想一想，你發現了什麼？
教師這時邊播放課件邊語言講解。
通過以上數形結合的辦法，既強化了異分母分數加法的演算法，又深刻理解了這個演算法的算理所在，數形結合相得益彰。
F. 為什麼要在小學數學中應用數形結合思想
數形結合思想為什麼在現實中有廣泛的應用？ 數與形是世界上萬事萬物存在的基本要素，因而專門反映數與形規律的數學在現實世界中無處不在、無處不用．數形結合思想是數學思想方法中非常重要的一種思維方法，本質上，它貫穿於數學發展的每一個階段，而明確地體現則在笛卡兒的「變數」和《解析幾何》誕生之後，並由此促成了初等數學向高等數學的發展，使數學從僅僅研究靜止、平直的對象擴展到研究運動變化和彎曲的對象．數形結合的思想方法應用非常廣泛，在解題過程中，能化繁為簡，化抽象為具體，對於幫助學生開闊思路、突破思維定勢有極好的作用．