一群小學生h

『壹』 近世代數上的考試題目：設G是一個群，又有H<=K<=G.證明：（G:H）=（G:K)(K;H)。

證明：先設G為有限群，則K、H也為有限群
因為H<=G,設G=∪（i=1到n)giH,gi遍歷G的左陪集gH的代表回元集
同理可設答G=∪（j=1到m)xjK,xj遍歷G的左陪集xK的代表元集
又設K=∪（l=1到s)klH,kl遍歷K的左陪集kH的代表元集
則G=∪（1<=j<=m)xjK=∪xj∪klH=∪∪(1<=j<=m,1<=l<=s)xjklH
=∪（1<=i<=n)giH
因為G關於子群H的左陪集個數是唯一的，所以有n=ms，即[G:H]=[G:K][K:H]
若G為無限群，將上述的n用∞取代，m,s也做相應調整，仿上也能證明結論。
證畢。

『貳』 忍者龍劍傳墮落的公主，女人被一群怪獸上那個，隼龍只在剛出場有，大部分都是女忍被「如何如何」

我知道第二部，第一部是霞，第二部紅葉，第三部凌音

『叄』 一群H原子處於量子數n=3的激發態，當它們越遷時有可能放出幾種能量的光子

只有三種光子。
一群和一個的結果是一樣的，因為說的是可能性。

『肆』 N是G的正規子群,H是G的子群,H關於G的指數與N的階互素,證明N是H的正規子群。 求大神做一下！

|首先，（[G:H], |N|)=1可以推出：
存在整數a,b，使得 a|G|/|H|+b|N|=1
所以a|G|+b|N|*|H|=|H| ……………………（△）
其次，因為N是正規子群，所以NH=HN是G的子群，並且
|NH|=|N||H|/|N∩H| 即 |NH|*|N∩H|=|N|*|H|，所以|NH|整除 |N|*|H|
然後，剛才說了NH是G的子群，所以|NH|整除|G|
所以，有(△)可知：|NH|整除|H|
所以NH=H，從而N是H的子群而且正規

『伍』 設H是群G的子群，證明：對任意的g屬於G ，集合K={g＾-1hg|屬於H}是G的子群，並證明H與K之間群同構

⑴。襲 看任意k∈K.k＝g＾-1hg, h∈H. H是子群，h^-1∈H.

從而k^-1＝（g＾-1hg）^-1＝g＾-1（h^-1）g∈K.①

又設：j＝g＾-1rg∈K,r∈H.kj＝（g＾-1hg）（g＾-1rg）＝g＾-1hjg

H是子群,hj∈H,從而kj∈K.②.從①②，K也是子群。

⑵。 作H到K的映射f：h→f（h）＝g^-1hg.容易驗證f是H到K的單全射，並且

f（h^-1）＝（f（h））^-1,f（hj）＝f（h）f（j）[h、j∈H]

[驗證就留給樓主啦！]

∴f是H與K之間的一個（群）同構映射。即H與K是（群）同構的。

『陸』 設H是有限群G的一個子群. p是|G|的最小素因子. 如果|G|/|H|=p,試證H一定是G的一個正規子群.

為|因為|G|/|H|=p，所以H的左陪集有p個。
令X為H的全體左陪集所成的集合: X={H，a1H，a2H，...，a(p-1)H}。
定義群作回G在X上的群答作用為 g(xH)=(gxH)，g∈G。
因此有同態σ:G→S(X)
(這里S(X)表示集合X上的置換構成的對稱群。由於|X|=p，所以|S(X)|=p!。)
上面括弧里的內容不清楚可以追問。
由群同態基本定理可得G/(Ker σ)≌Imσ<S(X)，其中Ker σ是G的正規子群。
則|G/(Ker σ)|整除|S(X)|，即[G：Ker σ]整除(G，p!)=p
若x∈Ker σ，則x(H)=xH=H，所以x∈H
因此Ker σ是H的子群，則[G：Ker σ]>[G：H]=p。
而[G：Ker σ]又整除p，則Ker σ只能等於H。
說明H一定是G的一個正規子群。

『柒』 設H是群G的子群,證明:H在G中的所有左和右陪集中有且只有一個子群.

G=eH∪a1H∪a2H…∪akH=H∪a1H∪a2H…∪akH

是G的一個劃分，在這些左陪集中只有H含有幺元e，故H是僅有一個子群。

再給出一個證明：

證明設a是G中任意元，aH是G的關於子群H的一個左陪集，如果aH是子群，則幺元e屬於aH，即存在H中的元h，e=ah，a=h^-1，H是子群，故a也屬於H；

於是對任意H中的元h有ah屬於H，即aH包含於H，對任意H中元h，h=aa^-1h，由於a^-1h屬於H，H包含於aH，故aH=H。

(7)一群小學生h擴展閱讀：

群是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構；是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。

如果群G的非空子集合H對於G的運算也成一個群，那麼H稱為G的子群。 設G 是群，H是G的非空子集，且H 關於G 上的運算 也構成群 ，則稱H 是G的子群。

子群是群的特殊的非空子集。群G的非空子集H，若對G的乘法也成為群，則稱H為G的子群，記為H≤G。若子群H≠G，則稱H為G的真子群，記為HG或簡記為H<G。任何一個非單位元群G至少有兩個子群，G自身以及由單位元e作成的單位元群{e}(或用{1}或1表示)，稱為G的平凡子群。

不是平凡子群的子群稱為非平凡子群。群G的非空子集H為G的子群的充分必要條件是：對任意的a，b∈H，恆有ab∈H.若{Hi|i∈I}是G的子群的集合，I是一個指標集，則所有Hi的交Hi是G的一個子群。

『捌』 離散數學：設<G,*>是一個偶數階的群，H是G的子群，|H|=|G|/2，證明H是G的正規子群。

這個是顯然啊…因為[G：H]=2，所以對任意的a不屬於H，有G=H並aH=H並Ha，所以aH=Ha

『玖』 離散數學群論，G是一個群，H是G的一個子群，H僅有2個相異的左陪集，求證H是一個正規子群。

這是一個很經典復的群論習制題，也不難。
H只有兩個左陪集：H和gH
那麼G=H ∪ gH，而且|H|=|G|/2，所以H也只能有兩個右陪集：H和Hg'
而且G=H ∪ Hg'，所以gH=Hg'
現在任取x∈G
如果x∈H，那麼xH=Hx=H
如果x∉H，那麼xH≠H，所以xH=gH。同樣，Hx≠H，所以Hx=Hg'
所以xH=gH=Hg'=Hx
所以H是正規子群

『拾』 語C群找人。H性質群。419一類的。純潔勿入。

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