❶ 五年級上冊有那些奧數題帶答案
第九講 「牛吃草」問題有這樣的問題.如：牧場上有一片勻速生長的草地，可供27頭牛吃6周，或供23頭牛吃9周.那麼它可供21頭牛吃幾周？這類問題稱為「牛吃草」問題。解答這類問題，困難在於草的總量在變，它每天，每周都在均勻地生長，時間愈長，草的總量越多.草的總量是由兩部分組成的：①某個時間期限前草場上原有的草量；②這個時間期限後草場每天（周）生長而新增的草量.因此，必須設法找出這兩個量來。下面就用開頭的題目為例進行分析.（見下圖）從上面的線段圖可以看出23頭牛9周的總草量比27頭牛6周的總草量多，多出部分相當於3周新生長的草量.為了求出一周新生長的草量，就要進行轉化.27頭牛6周吃草量相當於27×6＝162頭牛一周吃草量（或一頭牛吃162周）.23頭牛9周吃草量相當於23×9=207頭牛一周吃草量（或一頭牛吃207周）.這樣一來可以認為每周新生長的草量相當於（207-162）÷（9-6）=15頭牛一周的吃草量。需要解決的第二個問題是牧場上原有草量是多少？用27頭牛6周的總吃草量減去6周新生長的草量（即15×6=90頭牛吃一周的草量）即為牧場原有草量。所以牧場上原有草量為27×6-15×6=72頭牛一周的吃草量（或者為23×9-15×9=72）。牧場上的草21頭牛幾周才能吃完呢？解決這個問題相當於把21頭牛分成兩部分.一部分看成專吃牧場上原有的草.另一部分看成專吃新生長的草.但是新生的草只能維持15頭牛的吃草量，且始終可保持平衡（前面已分析過每周新生的草恰夠15頭牛吃一周）.故分出15頭牛吃新生長的草，另一部分21-15=6（頭）牛去吃原有的草.所以牧場上的草夠吃72÷6=12（周），也就是這個牧場上的草夠21頭牛吃12周.問題得解。例2 一隻船發現漏水時，已經進了一些水，水勻速進入船內.如果10人淘水，3小時淘完；如5人淘水8小時淘完.如果要求2小時淘完，要安排多少人淘水？分析 與解答這類問題，都有它共同的特點，即總水量隨漏水的延長而增加.所以總水量是個變數.而單位時間內漏進船的水的增長量是不變的.船內原有的水量（即發現船漏水時船內已有的水量）也是不變的量.對於這個問題我們換一個角度進行分析。如果設每個人每小時的淘水量為「1個單位」.則船內原有水量與3小時內漏水總量之和等於每人每小時淘水量×時間×人數，即1×3×10＝30.船內原有水量與8小時漏水量之和為1×5×8=40。每小時的漏水量等於8小時與3小時總水量之差÷時間差，即（40-30）÷（8-3）=2（即每小時漏進水量為2個單位，相當於每小時2人的淘水量）。船內原有的水量等於10人3小時淘出的總水量-3小時漏進水量.3小時漏進水量相當於3×2=6人1小時淘水量.所以船內原有水量為30-（2×3）=24。如果這些水（24個單位）要2小時淘完，則需24÷2＝12（人），但與此同時，每小時的漏進水量又要安排2人淘出，因此共需12+2＝14（人）。從以上這兩個例題看出，不管從哪一個角度來分析問題，都必須求出原有的量及單位時間內增加的量，這兩個量是不變的量.有了這兩個量，問題就容易解決了。例3 12頭牛28天可以吃完10公畝牧場上全部牧草，21頭牛63天可以吃完30公畝牧場上全部牧草.多少頭牛126天可以吃完72公畝牧場上全部牧草（每公畝牧場上原有草量相等，且每公畝牧場上每天生長草量相等）？分析 解題的關鍵在於求出一公畝一天新生長的草量可供幾頭牛吃一天，一公畝原有的草量可供幾頭牛吃一天。12頭牛28天吃完10公畝牧場上的牧草.相當於一公畝原來的牧草加上28天新生長的草可供33.6頭牛吃一天（12×28÷10＝33.6）。21頭牛63天吃完30公畝牧場上的牧草，相當於一公畝原有的草加上63天新生長的草可供44.1頭牛吃一天(63×21÷30＝44.l）。一公畝一天新生長的牧草可供0.3頭牛吃一天，即（44.l-33.6）÷（63-28）=0.3（頭）。一公畝原有的牧草可供25.2頭牛吃一天，即33.6-0.3×28=25.2（頭）。72公畝原有牧草可供14.4頭牛吃126天.即72×25.2÷126=14.4（頭）。72公畝每天新生長的草量可供21.6頭牛吃一天.即72×0.3=21.6（頭）。所以72公畝牧場上的牧草共可以供36（=14.4＋21.6）頭牛吃126天.問題得解。解：一公畝一天新生長草量可供多少頭牛吃一天？（63×2i÷30-12×28÷10）÷（63-28）=0.3（頭）。一公畝原有牧草可供多少頭牛吃一天？12×28÷10-0.3×28=25.2（頭）。72公畝的牧草可供多少頭牛吃126天？72×25.2÷126+72×0.3=36（頭）。答：72公畝的牧草可供36頭牛吃126天。例4 一塊草地，每天生長的速度相同.現在這片牧草可供16頭牛吃20天，或者供80隻羊吃12天.如果一頭牛一天的吃草量等於4隻羊一天的吃草量，那麼10頭牛與60隻羊一起吃可以吃多少天？分析 由於1頭牛每天的吃草量等於4隻羊每天的吃草量，故60隻羊每天的吃草量和15頭牛每天吃草量相等，80隻羊每天吃草量與20頭牛每天吃草量相等。解：60隻羊每天吃草量相當多少頭牛每天的吃草量？60÷4＝15（頭）。草地原有草量與20天新生長草量可供多少頭牛吃一天？16×20=320（頭）。80隻羊12天的吃草量供多少頭牛吃一天？（80÷4）×12=240（頭）。每天新生長的草夠多少頭牛吃一天？（320-240）÷（20-12）=10（頭）。原有草量夠多少頭牛吃一天？320-（20×10）＝120（頭）。原有草量可供10頭牛與60隻羊吃幾天？120÷（60÷4+10-10）＝8（天）。答：這塊草場可供10頭牛和60隻羊吃8天。例5 一水庫原有存水量一定，河水每天均勻入庫.5台抽水機連續20天可抽干；6台同樣的抽水機連續15天可抽干.若要求6天抽干，需要多少台同樣的抽水機？解：水庫原有的水與20天流入水可供多少台抽水機抽1天？20×5=100（台）。水庫原有的水與15天流入的水可供多少台抽水機抽1天？6×15=90（台）。每天流入的水可供多少台抽水機抽1天？（100-90）÷（20-15）=2（台）。原有的水可供多少台抽水機抽1天？100-20×2=60（台）。若6天抽完，共需抽水機多少台？60÷6＋2=12（台）。答：若6天抽完，共需12台抽水機。例6 有三片草場，每畝原有草量相同，草的生長速度也設第三片草場（24畝）可供x頭牛18周吃完，則由每頭牛每周吃草量可列出方程為：x＝36答：第三片草場可供36頭牛18周食用。這道題列方程時引入a、b兩個輔助未知數.在解方程時不一定要求出其數值，在本題中只需求出它們的比例關系即可。第七講 行程問題這一講中，我們將要研究的是行程問題中一些綜合性較強的題目.為此，我們需要先回顧一下已學過的基本數量關系：路程=速度×時間；總路程=速度和×時間；路程差=速度差×追及時間。例1 小華在8點到9點之間開始解一道題，當時時針、分針正好成一直線，解完題時兩針正好第一次重合.問：小明解這道題用了多長時間？分析 這道題實際上是一個行程問題.開始時兩針成一直線，最後兩針第一次重合.因此，在我們所考察的這段時間內，兩針的路程差為30分格，又因分格/分鍾，所以，當它們第一次重合時，一定是分針從後面追上時針.這是一個追及問題，追及時間就是小明的解題時間。例2 甲、乙、丙三人行路，甲每分鍾走60米，乙每分鍾走50米，丙每分鍾走40米.甲從A地，乙和丙從B地同時出發相向而行，甲和乙相遇後，過了15分鍾又與丙相遇，求A、B兩地間的距離。畫圖如下：分析 結合上圖，如果我們設甲、乙在點C相遇時，丙在D點，則因為過15分鍾後甲、丙在點E相遇，所以C、D之間的距離就等於（40＋60）×15=1500（米）。又因為乙和丙是同時從點B出發的，在相同的時間內，乙走到C點，丙才走到D點，即在相同的時間內乙比丙多走了1500米，而乙與丙的速度差為50-40＝10（米/分），這樣就可求出乙從B到C的時間為1500÷10＝150（分鍾），也就是甲、乙二人分別從A、B出發到C點相遇的時間是150分鍾，因此，可求出A、B的距離。解：①甲和丙15分鍾的相遇路程：（40＋60）×15=1500（米）。②乙和丙的速度差：50-40=10（米/分鍾）。③甲和乙的相遇時間：1500÷10=150（分鍾）。④A、B兩地間的距離：（50＋60）×150＝16500（米）＝16.5千米。答：A、B兩地間的距離是16.5千米.例3 甲、乙、丙是一條路上的三個車站，乙站到甲、丙兩站的距離相等，小強和小明同時分別從甲、丙兩站出發相向而行，小強經過乙站100米時與小明相遇，然後兩人又繼續前進，小強走到丙站立即返回，經過乙站300米時又追上小明，問：甲、乙兩站的距離是多少米？先畫圖如下：分析 結合上圖，我們可以把上述運動分為兩個階段來考察：①第一階段——從出發到二人相遇：小強走的路程=一個甲、乙距離+100米，小明走的路程=一個甲、乙距離-100米。②第二階段——從他們相遇到小強追上小明，小強走的路程=2個甲、乙距離-100米+300米=2個甲、乙距離+200米，小明走的路程=100+300=400（米）。從小強在兩個階段所走的路程可以看出：小強在第二階段所走的路是第一階段的2倍，所以，小明第二階段所走的路也是第一階段的2倍，即第一階段應走400÷2＝200（米），從而可求出甲、乙之間的距離為200＋100=300（米）。解略。例4 甲、乙、丙三人進行200米賽跑，當甲到終點時，乙離終點還有20米，丙離終點還有25米，如果甲、乙、丙賽跑的速度都不變，那麼當乙到達終點時，丙離終點還有多少米？分析 在相同的時間內，乙行了（200-20）=180（米），丙行了200-25例5 甲、乙二人分別從A、B兩地同時出發，如果兩人同向而行，甲26分鍾趕上乙；如果兩人相向而行，6分鍾可相遇，又已知乙每分鍾行50米，求A、B兩地的距離。先畫圖如下：分析 若設甲、乙二人相遇地點為C，甲追及乙的地點為D，則由題意可知甲從A到C用6分鍾.而從A到D則用26分鍾，因此，甲走C到D之間的路程時，所用時間應為：（26-6）=20（分）。同時，由上圖可知，C、D間的路程等於BC加BD.即等於乙在6分鍾內所走的路程與在26分鍾內所走的路程之和，為50×（26＋6）=1600（米）.所以，甲的速度為1600÷20＝80（米/分），由此可求出A、B間的距離。解：50×（26+6）÷（26-6）=50×32÷20＝80（米/分）（80+50）×6＝130×6=780（米）答：A、B間的距離為780米。例6 一條公路上，有一個騎車人和一個步行人，騎車人速度是步行人速度的3倍，每隔6分鍾有一輛公共汽車超過步行人，每隔10分鍾有一輛公共汽車超過騎車人，如果公共汽車始發站發車的時間間隔保持不變，那麼間隔幾分鍾發一輛公共汽車？分析 要求汽車的發車時間間隔，只要求出汽車的速度和相鄰兩汽車之間的距離就可以了，但題目沒有直接告訴我們這兩個條件，如何求出這兩個量呢？由題可知：相鄰兩汽車之間的距離（以下簡稱間隔距離）是不變的，當一輛公共汽車超過步行人時，緊接著下一輛公共汽車與步行人之間的距離就是間隔距離，每隔6分鍾就有一輛汽車超過步行人，這就是說：當一輛汽車超過步行人時，下一輛汽車要用6分鍾才能追上步行人，汽車與行人的路程差就是相鄰兩汽車的間隔距離。對於騎車人可作同樣的分析.因此，如果我們把汽車的速度記作V汽，騎車人的速度為V自，步行人的速度為V人（單位都是米/分鍾），則：間隔距離=（V汽-V人）×6（米），間隔距離=（V汽-V自）×10（米），V自=3V人。綜合上面的三個式子，可得：V汽=6V人，即V人=1/6V汽，則：間隔距離=（V汽-1/6V汽）×6=5V汽（米）所以，汽車的發車時間間隔就等於：間隔距離÷V汽=5V汽（米）÷V汽（米/分鍾）=5（分鍾）。（解略）。例7 甲、乙二人沿鐵路相向而行，速度相同，一列火車從甲身邊開過用了8秒鍾，離甲後5分鍾又遇乙，從乙身邊開過，只用了7秒鍾，問從乙與火車相遇開始再過幾分鍾甲乙二人相遇？分析 要求過幾分鍾甲、乙二人相遇，就必須求出甲、乙二人這時的距離與他們速度的關系，而與此相關聯的是火車的運動，只有通過火車的運動才能求出甲、乙二人的距離.火車的運行時間是已知的，因此必須求出其速度，至少應求出它和甲、乙二人的速度的比例關系.由於本問題較難，故分步詳解如下：①求出火車速度V車與甲、乙二人速度V人的關系，設火車車長為l，則：（i）火車開過甲身邊用8秒鍾，這個過程為追及問題：故l＝（V車-V人）×8；（1）（ii）火車開過乙身邊用7秒鍾，這個過程為相遇問題：故l=（V車+V人）×7.（2）由（1）、（2）可得：8（V車-V人）＝7（V車+V人），所以，V車=l5V人。②火車頭遇到甲處與火車頭遇到乙處之間的距離是：（8+5×6O）×（V車+V人）=308×16V人=4928V人。③求火車頭遇到乙時甲、乙二人之間的距離。火車頭遇甲後，又經過（8+5×60）秒後，火車頭才遇乙，所以，火車頭遇到乙時，甲、乙二人之間的距離為：4928V人-2（8＋5×60）V人=4312V人。④求甲、乙二人過幾分鍾相遇？第八講 流水行船問題船在江河裡航行時，除了本身的前進速度外，還受到流水的推送或頂逆，在這種情況下計算船隻的航行速度、時間和所行的路程，叫做流水行船問題。流水行船問題，是行程問題中的一種，因此行程問題中三個量（速度、時間、路程）的關系在這里將要反復用到.此外，流水行船問題還有以下兩個基本公式：順水速度=船速+水速，（1）逆水速度=船速-水速.（2）這里，船速是指船本身的速度，也就是在靜水中單位時間里所走過的路程.水速，是指水在單位時間里流過的路程.順水速度和逆水速度分別指順流航行時和逆流航行時船在單位時間里所行的路程。根據加減法互為逆運算的關系，由公式（l）可以得到：水速=順水速度-船速，船速=順水速度-水速。由公式（2）可以得到：水速=船速-逆水速度，船速=逆水速度+水速。這就是說，只要知道了船在靜水中的速度，船的實際速度和水速這三個量中的任意兩個，就可以求出第三個量。另外，已知船的逆水速度和順水速度，根據公式（1）和公式（2），相加和相減就可以得到：船速=（順水速度+逆水速度）÷2，水速=（順水速度-逆水速度）÷2。例1 甲、乙兩港間的水路長208千米，一隻船從甲港開往乙港，順水8小時到達，從乙港返回甲港，逆水13小時到達，求船在靜水中的速度和水流速度。分析 根據題意，要想求出船速和水速，需要按上面的基本數量關系先求出順水速度和逆水速度，而順水速度和逆水速度可按行程問題的一般數量關系，用路程分別除以順水、逆水所行時間求出。解：順水速度：208÷8=26（千米/小時）逆水速度：208÷13=16（千米/小時）船速：（26+16）÷2=21（千米/小時）水速：（26—16）÷2=5（千米/小時）答：船在靜水中的速度為每小時21千米，水流速度每小時5千米。例2 某船在靜水中的速度是每小時15千米，它從上游甲地開往下游乙地共花去了8小時，水速每小時3千米，問從乙地返回甲地需要多少時間？分析 要想求從乙地返回甲地需要多少時間，只要分別求出甲、乙兩地之間的路程和逆水速度。解：從甲地到乙地，順水速度：15+3=18（千米/小時），甲乙兩地路程：18×8=144（千米），從乙地到甲地的逆水速度：15—3=12（千米/小時），返回時逆行用的時間：144÷12＝12（小時）。答：從乙地返回甲地需要12小時。例3 甲、乙兩港相距360千米，一輪船往返兩港需35小時，逆流航行比順流航行多花了5小時.現在有一機帆船，靜水中速度是每小時12千米，這機帆船往返兩港要多少小時？分析 要求帆船往返兩港的時間，就要先求出水速.由題意可以知道，輪船逆流航行與順流航行的時間和與時間差分別是35小時與5小時，用和差問題解法可以求出逆流航行和順流航行的時間.並能進一步求出輪船的逆流速度和順流速度.在此基礎上再用和差問題解法求出水速。解：輪船逆流航行的時間：（35+5）÷2=20（小時），順流航行的時間：（35—5）÷2=15（小時），輪船逆流速度：360÷20=18（千米/小時），順流速度：360÷15=24（千米/小時），水速：（24—18）÷2=3（千米/小時），帆船的順流速度：12＋3＝15（千米/小時），帆船的逆水速度：12—3=9（千米/小時），帆船往返兩港所用時間：360÷15＋360÷9＝24+40=64（小時）。答：機帆船往返兩港要64小時。下面繼續研究兩只船在河流中相遇問題.當甲、乙兩船（甲在上游、乙在下游）在江河裡相向開出，它們單位時間靠攏的路程等於甲、乙兩船速度和.這是因為：甲船順水速度+乙船逆水速度=（甲船速+水速）＋（乙船速-水速）=甲船船速+乙船船速。這就是說，兩船在水中的相遇問題與靜水中的及兩車在陸地上的相遇問題一樣，與水速沒有關系。同樣道理，如果兩只船，同向運動，一隻船追上另一隻船所用的時間，也只與路程差和船速有關，與水速無關.這是因為：甲船順水速度-乙船順水速度=（甲船速+水速）-（乙船速+水速）=甲船速-乙船速。如果兩船逆向追趕時，也有甲船逆水速度-乙船逆水速度=（甲船速-水速）-（乙船速-水速）=甲船速-乙船速。這說明水中追及問題與在靜水中追及問題及兩車在陸地上追及問題一樣。由上述討論可知，解流水行船問題，更多地是把它轉化為已學過的相遇和追及問題來解答。例4 小剛和小強租一條小船，向上游劃去，不慎把水壺掉進江中，當他們發現並調過船頭時，水壺與船已經相距2千米，假定小船的速度是每小時4千米，水流速度是每小時2千米，那麼他們追上水壺需要多少時間？分析 此題是水中追及問題，已知路程差是2千米，船在順水中的速度是船速+水速.水壺飄流的速度只等於水速，所以速度差=船順水速度-水壺飄流的速度=（船速+水速）-水速=船速.解：路程差÷船速=追及時間2÷4=0.5（小時）。答：他們二人追回水壺需用0.5小時。例5 甲、乙兩船在靜水中速度分別為每小時24千米和每小時32千米，兩船從某河相距336千米的兩港同時出發相向而行，幾小時相遇？如果同向而行，甲船在前，乙船在後，幾小時後乙船追上甲船？解：①相遇時用的時間336÷（24+32）=336÷56=6（小時）。②追及用的時間（不論兩船同向逆流而上還是順流而下）：336÷（32—24）＝42（小時）。答：兩船6小時相遇；乙船追上甲船需要42小時。
工程問題 1．甲乙兩個水管單獨開，注滿一池水，分別需要20小時，16小時.丙水管單獨開，排一池水要10小時，若水池沒水，同時打開甲乙兩水管，5小時後，再打開排水管丙，問水池注滿還是要多少小時？ 解： 1/20+1/16＝9/80表示甲乙的工作效率 9/80×5＝45/80表示5小時後進水量 1-45/80＝35/80表示還要的進水量 35/80÷（9/80-1/10）＝35表示還要35小時注滿 答：5小時後還要35小時就能將水池注滿。 2．修一條水渠，單獨修，甲隊需要20天完成，乙隊需要30天完成。如果兩隊合作，由於彼此施工有影響，他們的工作效率就要降低，甲隊的工作效率是原來的五分之四，乙隊工作效率只有原來的十分之九。現在計劃16天修完這條水渠，且要求兩隊合作的天數盡可能少，那麼兩隊要合作幾天？ 解：由題意得，甲的工效為1/20，乙的工效為1/30，甲乙的合作工效為1/20*4/5+1/30*9/10＝7/100，可知甲乙合作工效>甲的工效>乙的工效。 又因為，要求「兩隊合作的天數盡可能少」，所以應該讓做的快的甲多做，16天內實在來不及的才應該讓甲乙合作完成。只有這樣才能「兩隊合作的天數盡可能少」。 設合作時間為x天，則甲獨做時間為（16-x）天 1/20*（16-x）+7/100*x＝1 x＝10 答：甲乙最短合作10天 3．一件工作，甲、乙合做需4小時完成，乙、丙合做需5小時完成。現在先請甲、丙合做2小時後，餘下的乙還需做6小時完成。乙單獨做完這件工作要多少小時？ 解： 由題意知，1/4表示甲乙合作1小時的工作量，1/5表示乙丙合作1小時的工作量 （1/4+1/5）×2＝9/10表示甲做了2小時、乙做了4小時、丙做了2小時的工作量。 根據「甲、丙合做2小時後，餘下的乙還需做6小時完成」可知甲做2小時、乙做6小時、丙做2小時一共的工作量為1。 所以1－9/10＝1/10表示乙做6-4＝2小時的工作量。 1/10÷2＝1/20表示乙的工作效率。 1÷1/20＝20小時表示乙單獨完成需要20小時。 答：乙單獨完成需要20小時。 4．一項工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，這樣交替輪流做，那麼恰好用整數天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，第四天甲做，這樣交替輪流做，那麼完工時間要比前一種多半天。已知乙單獨做這項工程需17天完成，甲單獨做這項工程要多少天完成？ 解：由題意可知 1/甲+1/乙+1/甲+1/乙+……+1/甲＝1 1/乙+1/甲+1/乙+1/甲+……+1/乙+1/甲×0.5＝1 （1/甲表示甲的工作效率、1/乙表示乙的工作效率，最後結束必須如上所示，否則第二種做法就不比第一種多0.5天） 1/甲＝1/乙+1/甲×0.5（因為前面的工作量都相等） 得到1/甲＝1/乙×2 又因為1/乙＝1/17 所以1/甲＝2/17，甲等於17÷2＝8.5天 5．師徒倆人加工同樣多的零件。當師傅完成了1/2時，徒弟完成了120個。當師傅完成了任務時，徒弟完成了4/5這批零件共有多少個？ 答案為300個 120÷（4/5÷2）＝300個 可以這樣想：師傅第一次完成了1/2，第二次也是1/2，兩次一共全部完工，那麼徒弟第二次後共完成了4/5，可以推算出第一次完成了4/5的一半是2/5，剛好是120個。 6．一批樹苗，如果分給男女生栽，平均每人栽6棵；如果單份給女生栽，平均每人栽10棵。單份給男生栽，平均每人栽幾棵？ 答案是15棵 算式：1÷（1/6-1/10）＝15棵 7．一個池上裝有3根水管。甲管為進水管，乙管為出水管，20分鍾可將滿池水放完，丙管也是出水管，30分鍾可將滿池水放完。現在先打開甲管，當水池水剛溢出時，打開乙,丙兩管用了18分鍾放完，當打開甲管注滿水是，再打開乙管，而不開丙管，多少分鍾將水放完？ 答案45分鍾。 1÷（1/20+1/30）＝12 表示乙丙合作將滿池水放完需要的分鍾數。 1/12*（18-12）＝1/12*6＝1/2 表示乙丙合作將漫池水放完後，還多放了6分鍾的水，也就是甲18分鍾進的水。 1/2÷18＝1/36 表示甲每分鍾進水 最後就是1÷（1/20-1/36）＝45分鍾。