① 初中奧數題10題及答案
1`已知:x=[1991^(1/n)-1991^(-1/n)]/2,n是自然數
求 [x-(1+x^2)^(1/2)]^n 的值
解:結果是 1991^(n-1)
x=[1991^(1/n)-1991^(-1/n)]/2 分母有理化
對其化簡可得 x=[1990*1991^(1/n)]/1991
再設y=1991^(1/n) 則1991^(-1/n)=1/y
則可變為 (y^2+1)/2y 將其代入下式
[x-(1+x^2)^(1/2)]^n
可得[(2xy+y^2+1)/2y]^n
再將y=1991^(1/n) x=[1990*1991^(1/n)]/1991
2`證明任意7個連續自然數中，必有一個與其它6個都互質
自然數都大於1，不能是1-7吧！
相鄰的自然數(>1)都互質；差為2的兩個自然數唯一的非1正公約數只能是2，或者沒有；差為3的兩個自然數唯一的非1正公約數只能是3，或者沒有；差為4的兩個自然數的非1正公約數只能是2，4，或者沒有；差為5的兩個自然數的唯一非1正公約數只能是5，或者沒有；差為6的兩個自然數的唯一非1正公約數只能是2，3，6，或者沒有.
若必有一個與其它6個都互質，這個數定是奇數。
n 到 n+6七個數
若n為奇數，則n+4,n+2中，必定有一個不能被3整除。
a.若n+4不能被3整除時，它與n+3,n+5,相鄰互質,與n，n+2,n+6奇數相差2，4，質因子只可能是2，因為是奇數，互質，與n+1,有因子3不可能。
n+4與其它6個都互質。
b.若n+2不能被3整除時，它與n+1,n+3,相鄰互質，與n，n+4,n+6奇數相差2，4，質因子只可能是2，因為是奇數，互質，與n+5,有因子3不可能。
n+2與其它6個都互質
故以奇數開始的七個連續自然數，必有一個與其它6個都互質
在以上證明中，把+改為-，得：
n 到 n-6七個數
若n為奇數，則n-4,n-2中，必定有一個不能被3整除。
c.若n-4不能被3整除時，它與n-3,n-5,相鄰互質,與n，n-2,n-6奇數相差2，4，質因子只可能是2，因為是奇數，互質，與n-1,有因子3不可能。
n-4與其它6個都互質。
d.若n-2不能被3整除時，它與n-1,n-3,相鄰互質，與n，n-4,n-6奇數相差2，4，質因子只可能是2，因為是奇數，互質，與n-5,有因子3不可能。
n-2與其它6個都互質
故以奇數結尾的七個連續自然數，必有一個與其它6個都互質
由於7個連續自然數必定以奇數開始或者以奇數結尾，從a、b、c、d的證明中，可知任意7個連續自然數(>1)中，必有一個與其它6個都互質
3`三角形ABC,AB=2根2,AC=根2,BC=2,點P 是BC邊上任一點,則
PA^2 和PB*PC 的大小關系是什麼
餘弦定理：
cosA=[(2√2)^2+(√2)^2-2^2]/(2*2√2*√2)=1/2
A=30°
取BC中點N
BP*PC<=BN*NC=BC^2/4
過A做AM垂直AB交BC延長線M，過A做BC垂線AQ垂足Q
則有：
AP>AQ,
AP^2>AQ^2=BQ*QM>BC^2/4>=BP*PC
4`正方形OPQR內接於三角形ABC,已知三角形AOR,BOP,CRQ面積分別是 1,3,1.則正方形OPQR的面積是多少?
圖形很簡單,就是普通的三角形,和內接正方形
設正方形的邊長為a，三角形AOR的OR邊上的高為h，
根據三角形的面積公式可知
h=2/a,BP=6/a，QC=2/a，
三角形ABC的BC邊上的高H=a+h=a+2/a，
BC=6/a+a+2/a；
將三角形ABC的面積分解成四部分（三角形AOR,BOP,CRQ和正方形OPQR）
列方程得
1/2（6/a+a+2/a)(a+2/a)=3+1+1+a^2
解得a^2=4,即正方形OPQR的面積是4。
若A,C,D 是整數,B是正整數,且 A+B=C,B+C=D,C+D=A,那麼
A+B+C+D 的最大值是多少?
因為a+b=c, b+c=d, c+d=a,
把3式加起來可以得a+2b+2c+d=c+d+a, 得到c=-2b,
帶入其它等式，得到a=-3b, d=-b, 所以a+b+c+d=-5b
b>0的整數，所以a+b+c+d<0, 所以當b=1最小時，a+b+c+d=-5最大
5`若1*2*3*...*100=M*12^n,其中M是自然數,n是使得等式成立的最大自然數,
則M, (1)是2的倍數嗎(2)是3的倍數嗎 (3)是4的倍數嗎
100/3=33 100/9=11 100/27=4 則n=33+11+4=48
100/2=50,100/4=25 100/8=12 100/16=6 100/32=3 100/64=1
50+25+12+6+3+1=99
剛原式=n*2^99*3^48=8n*12^48 8n=m
故,m是2\4的倍數,不是3的倍數.
6`已知一個凸四邊形的各邊長都是整數,並且任何一邊的長都能整除其餘三邊長度之和,求證:這個四邊形必有兩邊相等.
證：設凸四邊形各邊的整數長度分別為：a、b、c、d，則
a<b+c+d，
b<a+c+d，
c<a+b+d，
d<b+c+a，
設k為整數，k≥2，已知任何一邊的長都能整除其餘三邊長度之和,設（a+b+c）/d=k，則
a+b+c=kd
討論：
一、設a+b=d
則d+c=kd
c=（k-1）d
(1)k=2,c=d
(2)k=3,c=2d,
但a+c+d=2d，a+c+d=c，與c<a+b+d矛盾，
故k=2,c=d,
二、如a+b=2d,則a=b,
三、a+b=3d,則a=2d,b=d或b=2d,a=d,
四、a+b=4d,
(1)a=d,b=3d,a=3d.b=d
(2)a=2d,b=2d,c=(k-4)d,a=b
五、a+b=5d,
(1)a=4d,b=d,c=d.a=b+c+d,與c<a+b+d矛盾，
(2)a=3d,b=2d,c=(k-5)d,
k=6,c=d,
k=7,c=2d,b=c
k=8,c=3d,a=c
k=9,c=4d,c+b+d=4d+2d+d=7d,(c+b+d)/a=7d/3d不是整數，不合題意；
k=10,c=5d,不合題意；
k>10不合題意；
六、a+b=6d,
(1)a=4d,b=2d,c=(k-6)d.
k=7,c=d,
k=8,c=2d,b=c
k=9,c=3d,
a+b+d=4d+2d+d=7d,(a+b+d)/c=7d/3d不是整數，不合題意；
k=10,c=4d,a=c
k=11,c=5d,不合題意；
k>11不合題意；
(2)a=3d,b=3d,a=b
(3)a=d,b=5d,a=d
七、a+b=7d,
(1)a=6d,b=d,
(2)a=3d,b=4d,c=(k-7)d
k=8,c=d,
k=9,c=2d,(c+b+d)/c=7d/3d不是整數，不合題意；
k=10,c=3d,,(c+b+d)/c=8d/3d不是整數，不合題意；
k>10不合題意；
(3)a=2d,b=5d,c=(k-7)d
k=8,c=d
k=9,c=2d,a=c
k=10,c=3d,a+b+d=8d,(a+b+d)/c=8d/3d,不合題意；
k=11,c=4d不合題意；
k=12,c=5d,a=c
k=13,c=6d,不合題意；
(4)a=3d,b=4d,,c=(k-7)d
k=8,c=d
k=9,c=2d,不合題意
k=10,c=3d,a=c
k=11,c=4d,b=c
k=12,c=5d,不合題意
k>12不合題意
可知如果一個凸四邊形的各邊長都是整數,並且任何一邊的長都能整除其餘三邊長度之和,則這個四邊形必有兩邊相等.
7`關於x的不等式組 x²-x-2>0 ①
{ 的 整數解只有x=-2，則實數k的取
2x²+(2k×5)x+5k<0 ②
值范圍是：
有第一個不等式的x>2或x<-1
第二個不等式可以寫作（2x+5）（x+k）<0
所以第二個不等式有兩種情況：
當k>2.5時，則解為-k<x<-2.5,此種情況顯然不符合題意
當k<2.5時，則解為-2.5<x<-k,此時又有四種情況
第一種：k大於等於2小於2.5，此時方程組的解為-2.5<x<-k,不合題意
第二種：k大於等於-2小於2，此時方程組的解為-2.5<x<-1,即整數解只有-2
第三種：k大於等於-3小於-2，此時方程組的解為-2.5<x<-1或2<x<k,此時解也只為-2
第四種：k小於-3時，接的形勢與第三種情況相似，但整數解卻有了3，故不符合題意
綜上所述：k的取值范圍為k大於等於-3小於2
8`若a,b,c,d是四個正數，且abcd=1,求a/(abc+ab+a+1)+b/(bcd+bc+b+1)+c/(cda+cd+c+1)+d/(dab+da+d+1）的值？
a/(abc+ab+a+1)+b/(bcd+bc+b+1)+c/(cda+cd+c+1)+d/(dab+da+d+1)
=a/(1/d+ab+a+1)+b/(bcd+bc+b+1)+c/(1/b+cd+c+1)+d/(dab+da+d+1)
=ad/(abd+ad+d+1)+b/(bcd+bc+b+1)+bc/(bcd+bc+b+1)+d/(dab+da+d+1)
=(ad+d)/(abd+ad+d+1)+(b+bc)/(bcd+bc+b+1)
=(ad+d)/(abd+ad+d+abcd)+(b+bc)/(bcd+bc+b+abcd)
=(a+1)/(ab+a+1+abc)+(1+c)/(cd+c+1+acd)
=(a+1)/[(a+1)+ab(c+1)]+(c+1)/[(c+1)+cd(a+1)]
=1/[1+ab(c+1)/(a+1)]+1/[1+cd(a+1)/(c+1)]
=1/{1+(c+1)/[cd(a+1)]}+1/[1+cd(a+1)/(c+1)]
令(c+1)/[cd(a+1)]=x
則cd(a+1)/(c+1)=1/x
所以原式=1/(1+x)+1/(1+1/x)
=1/(1+x)+x/(1+x)
=(1+x)/(1+x)
=1
9`觀察下面一列數的規律：0，3，8，15，24……則它的第2008個數為幾？
那麼數列0，2，6，12，20，30……的第2008個數呢？
3-0=3 ----------式子1
8-3=5 ------------式子2
15-8=7 --------式子3
24-15=9 --------式子4
.
.
.
X(第2008項)-Y(2007項)=3+2乘(2008-2)----式子2006
觀察,式子1加式子2加式子3加到式子2006,等號左邊為X-0即X
等號右邊是等差數列,求下和就行了.
方法二:平方減一法,觀察出來的
按規律,每個數等與n的平方減1.
0=1^2 -1
3=2^2 -1
8=3^2 -1
15=4^2 -1
...
第2002 個數就是2002的平方減1
2002^2-1=4008003
所以答案為4008003
10`已知實數x,y滿足x^3+y^3=2則x+y的最大值是多少？
因為 x^3+y^3 = (x+y)(x^2+xy+y^2)
又 x^2+xy+y^2 = x^2+2xy+y^2-xy = (x+y)^2 - xy
所以 x^3+y^3 = (x+y)[(x+y)^2 - xy]=2 (1)
因為 (x+y)^2>=2xy
所以 [(x+y)^2]/2>=xy
上式兩邊同時*(-1) 得 -[(x+y)^2]/2 <= -xy
所以(1)式可以化為
(x+y)[(x+y)^2 -[(x+y)^2]/2] <= 2
所以 (x+y)* [(x+y)^2]/2 <= 2
所以 x+y <= 3√4